Équations de correction
La ligne d’eau corrigée sera solution de l’équation :
\(f(Z^{i}_{j} + \Delta Z^{i}_{j}, Z^{i}_{j+1} + \Delta Z^{i}_{j+1},Q^{i}_{j} + \Delta Q^{i}) = 0\) [2]
En développant [2], en série de Taylor limitée aux termes du premier ordre :
[2] - [1] => \(a^{i}_{j}.\Delta Z^{i}_{j} + b^{i}_{j}.\Delta Z^{i}_{j+1} + c^{i}_{j}.\Delta Q^{i} = 0\) [3]
avec : \(a_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Z^{i}_{j}}\)~ ~ ~ \(b_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Z^{i}_{j+1}}\)~ ~ ~ \(c_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Q^{i}}\)
On sait que \(a_{j}^{i}\) n’est pas nul puisque la résolution de [1] est faite par la méthode de Newton où intervient le rapport \(\frac{f}{a^{i}_{j}}\).
On pose : \(d^{i}_{j} = \frac{b^{i}_{j}}{a^{i}_{j}}\) et \(e^{i}_{j} = \frac{c^{i}_{j}}{a^{i}_{j}}\)
Pour un bief i de n sections, les (n-1) équations [3] deviennent :
\(\Delta Z^{i}_{1} = d^{i}_{1}.\Delta Z^{i}_{2} + e^{i}_{1}.\Delta Q^{i}\)
…
\(\Delta Z^{i}_{j} = d^{i}_{1}.\Delta Z^{i}_{j+1} + e^{i}_{j}.\Delta Q^{i}\)
…
\(\Delta Z^{i}_{n-1} = d^{i}_{n-1}.\Delta Z^{i}_{n} + e^{i}_{n-1}.\Delta Q^{i}\)
En condensant ces équations relatives à deux sections, on obtient une relation caractéristique du bief :
\(\Delta Z^{i}_{1} = D^{i}_{n}.\Delta Z^{i}_{n} + E^{i}.\Delta Q^{i}\) [4]
avec :
- i = indice du bief
- 1 = indice de la section amont du bief
- n = indice de la section aval du bief
- \(D^i = \prod_{j=1}^{n} d^i_j\)
- \(E^i = D^i \prod_{k=1}^{n} \frac{e^i_k}{\prod_{j=k}^{n} d^i_j}\) ( avec : \(d^i_n = 1\) et \(e^i_n = 0\) )
Les autres relations dont on dispose sont :
Pour tous les nœuds de la maille qui ne sont pas nœuds aval de maille :
*Continuité des débits :
\(\sum_{i=1}^{k} \varepsilon ^i \Delta Q^i =0\) [5]
avec :
- k = nombre de biefs de maille reliés au nœud
- \(\varepsilon ^i = 1\) pour un bief amont
- \(\varepsilon ^i = -1\) pour un bief aval
*Égalité des cotes :
\(Z^i_u + \Delta Z^i_u = Z^l_v + \Delta Z^l_v\) [6]
soit k - 1 relations, avec : - u, v = 1 si le bief part du nœud et n si le bief arrive au nœud - i, l = biefs reliés au nœud
Pour tous les nœuds aval de maille :
- Si la condition aval est une cote donnée : \(\Delta Z^i_n = 0\) [7]
- Si la condition aval est une courbe de tarage aval (dans ce cas un seul bief par nœud aval) : \(\Delta Z^i_n = g(\Delta Q^i)\)