Calcul des classes fixées en régime transitoire

L’équation différentielle de variation des classes fixées est la suivante :

\(\frac{\partial C_k}{\partial t}(x,t)=E_k(x,t)\)

Avec :

• \(C_k\) : la masse par unité de longueur de cours d’eau de la classe au point considéré ;
• \(E_k\) : l’évolution de \(C_k\) en fonction du temps.

La discrétisation pour le temps \(j+1=t+\Delta t\) de cette équation est faite par une méthode d’Euler semi-implicite :

\(C_k^{j+1}-C_k^{j}-\frac{\Delta t}{2}\left(E_k^{j}+E_k^{j+1}\right)=0\)

Sa résolution est ensuite réalisée dans les mêmes itérations de Newton que les classes de qualité dérivantes.

La formule de l’itération de Newton pour une itération i est :

\(C_k^{j+1,i}=C_k^{j+1,i-1}-\frac{f\left(C_k^{j+1,i-1}\right)}{f'\left(C_k^{j+1,i-1}\right)}=C_k^{j+1,i-1}-\frac{b^{i}}{a^{i}}\)

avec \(b_i=C_k^{j+1,i-1}-C_k^{j}-\frac{\Delta t}{2}\left(E_k^{j}+E_k^{j+1,i}\right)\) et \(a_i=1-\frac{\Delta t}{2}E_k^{\prime,j+1,i}\)

\(E_k^{j+1,i}\) et \(E_k^{\prime,j+1,i}\) sont fonction de \(C_k^{j+1,i-1}\) mais aussi des classes de qualité dérivantes \(C_{k'}^{j+1,i-1}\)