Equation dynamique

Discrétisons chaque terme de l’équation [30] :

= [ - ] + [D( ) - D( )] = [ - ] + [( - DAj) - ( - DAi)] = [ - ] + DQj - DQi + BiDZi - BjDZj) * = a1.DQi + a2.DQj + a3.DZi + a4.DZj + a5

avec : a5 = [ - ] a4 = - Bj a3 = Bi a2 = a1 = -

Calcul de gA :

gA = g [ + Q].[] = [(Ai + Aj)(Zj - Zi) + Q(DAi + DAj)(Zj - Zi) + Q(DZj - DZi)(Ai + Aj)] = [(Ai + Aj)(Zj - Zi) + Q(BiDZi + BjDZj)(Zj - Zi) + Q(DZj - DZi)(Ai + Aj)] *** gA = [a6DZi + a7DZj + a8]

avec :

a6 = Q[Bi (Zj - Zi) - (Ai + Aj)] a7 = Q[Bj (Zj - Zi) + (Ai + Aj)] a8 = (Ai + Aj).(Zj - Zi)

Calcul de gASf:

gASf = g [ + [D(AiSfi) + D(AjSfj)]] = g [ + [SfiDAi + AiDSfi + SfjDAj + AjDSfj]]

Calculons DSf :

Sf = = sgn(Q)

avec :

sgn(Q) = 1 si Q > 0 sgn(Q) = -1 si Q < 0

=> DSf = 2 sgn(Q).Q - 2 sgn (Q) .DDe ou encore : DSf = 2 |Q| - 2 .DDe De =

=> DDe = + R-1/3 DR avec :

=> DDe = B.DZ + R-1/3 a DZ = ae DZ DSf = 2 |Q| - 2 DDe = 2 |Q| - 2 ae DZ => gASf = g [ + [(SfiBiDZi + SfjBjDZj) + Ai (2 |Qi| - 2 aei DZi) + Aj (2 |Qj| - 2 aej DZj)]] *** gASf = a9.DZi + a10.DZj + a11.DQi + a12.DQj + a13

avec :

a9 = [SfiBi - Ai 2 aei] a10 = [SfjBj - Aj 2 aej] a11 = gQ a12 = gQ a13 = g []

Calcul de kq :

kq = [qi + qj + Q (D(qi ) + D(qj ))] = [qi + qj + Q (qi - qi + qj - qj )]

*** kq = a14.DZi + a15.DZj + a16.DQi + a17.DQj + a18

avec : a14 = - Q qi Bi a15 = - Q qj Bj a16 = Q a17 = Q a18 = [qi + qj ]

L’équation dynamique [30] peut donc se mettre sous la forme :

A11.DQi + A12.DZi = B11.DQj + B12.DZj + B13 [35]

avec : A11 = + a1 + a11 - a16 A12 = a3 + a6 + a9 - a14 B11 = - ( + a2 + a12 - a17) B12 = - (a4 + a7 + a10 - a15) B13 = - (a5 + a8 + a13 - a18)