Nous appliquons le théorème de quantité de mouvement à un volume d’eau compris entre les sections d’abscisses x et x + Dx.
Nous nous intéressons à la projection sur l’axe du canal :
= S Fext/x [29]

Pendant le temps Dt le volume d’eau V compris entre les sections 1 et 2 se déforme et se déplace dans le volume V’ compris entre les sections 1’ et 2’. Il nous faut estimer la variation de quantité de mouvement en projection sur l’axe des x terme de gauche de l’équation [29].

Estimation de la quantité de mouvement



La quantité de mouvement perdue correspond au volume V1 soit :
rV(x,t).Dt.A(x,t).V(x,t)
La quantité de mouvement gagnée correspond au volume V2 :
rV(x+Dx,t).Dt.A(x+Dx,t).V(x+Dx,t)
La variation de quantité de mouvement dans la partie commune est de :
rA(x,t+Dt).Dx.V(x,t+Dt) - rA(x,t).Dx.V(x,t)
La variation de quantité de mouvement due aux apports latéraux :

• rq(x,t).Dx.Dt.V(x,t)
  si débit de fuite (vitesse égale à la vitesse de l’écoulement)
  + rq(x,t).Dx.Dt.0
  si débit d’apport (vitesse nulle en projection sur l’axe des x)
  que l’on peut écrire de façon globale sous la forme :
• krq(x,t).Dx.Dt.V(x,t)

avec :
k = 1 pour un débit de fuite et
k = 0 pour un débit d’apport.

On a donc :
D(mVx) = (rV.Dt.A.V) (x+Dx,t) - (rV.Dt.A.V)(x,t) + (rA.Dx.V) (x,t+Dt)

• (rA.Dx.V)(x,t) - k(rq.Dx.Dt.V) (x,t)
  que l’on peut écrire sous la forme :
  = rDx [ + - kqV]

Il faut évaluer à présent le terme de droite de l’équation [29] qui représente la résultante des forces extérieures en projection sur l’axe des x. On considère uniquement l’effet des forces de gravité, de pression et de frottement.

Estimation des forces extérieures



La résultante des forces de gravité est :
Fgx = r.g.A.Dx.sin(S0)

comme on est en écoulement quasi horizontal sin(S0) » S0 (pente du canal), donc :
Fgx = rg.A.Dx.S0

La résultante des forces de pression est obtenue grâce à l’hypothèse de répartition hydrostatique des pressions. La résultante des forces de pression s’exerçant sur la masse d’eau comprise entre x et x+Dx est la même qu’en statique, c’est-à-dire quand la surface libre est horizontale nous pouvons alors écrire :

Fg = - rg.A.Dx = -Fp (résultante des forces nulle)
Donc : |Fp| = rg.A.Dx et Fp est perpendiculaire à la surface libre.

La normale à la surface libre a pour composantes :
n
car l’équation de la surface libre dans des axes liés au fond est h - y (x,t) = 0
On suppose que |n| = 1 car la surface libre est presque horizontale. La résultante des forces de pression s’écrit donc :
Fp
Donc :
Fpx = -rg.A.Dx
Les forces de frottement sont estimées à partir de la formule de MANNING-STRICKLER :
Ffx = - rg.A.Dx.Sf
avec : Sf =
La résultante des forces extérieures en projection sur l’axe du canal est donc :
S Fext/x = rg.A.Dx.S0 - rg.A.Dx. - rg.A.Dx.Sf
= rg.A.Dx [S0 - Sf - ]
L’équation [29] se met donc sous la forme :
rDx [ + - kqV] = rg.A.Dx [S0 - Sf - ]
Soit :
+ + g.A = g.A [S0 - Sf] + kqV
que nous écrivons sous la forme :
+ + g.A = - g.A Sf + kqV [30]