Considérons un bief ayant n sections de calcul, le système à résoudre est donc :

• équations de SAINT VENANT sur chaque intervalle entre 2 sections de calcul à tout instant t,
• conditions aux limites amont et aval.

La discrétisation transforme ce bief en une suite de n sections de calculs reliées entre elles par les deux équations linéaires [34] et [35]. On a donc 2(n-1) équations linéaires en DQ, DZ. Les deux équations manquantes pour la résolution du système sont fournies par les conditions amont et aval que l’on linéarise à chaque pas de temps.

Condition à la limite amont :



R1.DQ1 + S1.DZ1 = T1

Dans le cas d’une loi Q(t) on a :

R1 = 1, S1 = 0 et T1 = Q(t+Dt) - Q(t)

Condition à la limite aval :



R’n.DQn + S’n.DZn = T’n, avec :
= a, R’n = 1, S’n = -a, T’n = 0

On a donc à résoudre un système linéaire de 2 n équations. Au lieu d’inverser la matrice du système on utilise la méthode du double balayage :

A11.DQi + A12.DZi = B11.DQj + B12.DZj + B13
A21.DQi + A22.DZi = B21.DQj + B22.DZj + B23

Posons DEN = A11 A22 - A21 A12

DEN est différent de zéro car les deux équations sont linéairement indépendantes.

DEN.DQi = (B11.A22 - B21.A12).DQj
+ (B12.A22 - B22.A12).DZj
+ B13.A22 - B23.A12
DEN.DZi = (B21.A11 - B11.A21).DQj
+ (B22.A11 - B12.A21).DZj
+ B23.A11 - B13.A21
[36]
avec :
A =
B =
C =
D =
E =
F =

Regardons la forme du système pour trois sections de calcul :
R1S1DQ1T11-D1-E1DZ1F11-A1-B1 .DQ2 =C11-D2-E2DZ2F21-A2-B2DQ3C2R’3S’3DZ3T’3


1er balayage :

Le premier balayage amont - aval donne :
R1S1DQ1T11-D1-E1DZ1F1R2S2 .DQ2 =T21-D2-E2DZ2F2R3S3DQ3T3R’3S’3DZ3T’3

Soit pour deux sections consécutives i et j :
Ri.DQi + Si.DZi = Ti
Ri.(Ai.DQj + Bi.DZj + Ci)
+ Si.(Di.DQj + Ei.DZj + Fi) = Ti
R*j.DQj + S*j.DZj = T*j

avec :

R*j = Ri.Ai + Si.Di
S*j = Ri.Bi + Si.Ei
T*j = Ti - Ri.Ci - Si.Fi

On cadre les coefficients R’j, S’j, T’j en normant, pour éviter la propagation d’erreurs numériques.

Rj = etc.

On a alors :

Rj.DQj + Sj.DZj = Tj

qui est la relation d’impédance amont.

Arrivé à la condition à la limite aval, on a :

qui nous donne DQn et DZn :
DQn =
DZn =
Puis on remonte le deuxième balayage.

2ème balayage



Le balayage permet de calculer les variables DQ et DZ dans chaque section au moyen des équations [37] :

[37]