Examinons comment introduire les singularités dans le processus du double balayage.

Le problème que nous avons à résoudre dans le cas d’une singularité est le suivant :

[38]

On veut obtenir la relation d’impédance :

Rj.DQj + Sj.DZj = Tj

transmise à la section aval de la singularité.

Faisons l’hypothèse que l’ouvrage est mobile, mais avec une loi de variation W(t) en fonction du temps connue a priori.
L’équation de l’ouvrage peut s’écrire à l’instant t+(n+1)dt :

Qin+1 = f(Zin+1, Zjn+1, Wn+1)
Donc :

DQi = f(Zin + DZi, Zjn + DZj, Wn+1) - Qin

On obtient ainsi une expression de la relation d’impédance non linéarisée sous la forme :

DQj = f(Zin + ( - DQj), Zjn+DZj, Wn+1) - Qin [39]

Le problème revient donc à trouver la meilleure approximation linéaire possible de cette expression. Nous écrivons l’équation d’approximation tangentielle de la loi de l’ouvrage sous la forme :

Qin + DQi = f(Zin + DZi, Zjn + DZj, Wn+1)
= f(Zin, Zjn, Wn+1) + (Zin, Zjn, Wn+1) DZi
+ (Zin, Zjn, Wn+1) DZj

On obtient donc :

Rj.DQj + Sj.DZj = Tj [40]

avec :

Cette méthode n’évite pas l’erreur d’approximation tangentielle de la loi de l’ouvrage, mais la compense après coup pour le calcul du pas de temps suivant. Cela se traduit par l’envoi d’une "onde de correction" que l’on retrouve dans l’expression du coefficient Tj sous la forme d’un terme additif Si ( f() - Qin ). Il reste que les erreurs commises par l’approximation tangentielle peuvent être importantes lors de variations rapides des conditions d’écoulement (manoeuvres d’ouvrages, passage de régime dénoyé noyé, etc.).
Il serait donc intéressant d’avoir une évaluation la plus précise possible de l’évolution des deux variables Zi et Zj pendant le temps Dt pour pouvoir utiliser la meilleure approximation linéaire de la loi de l’ouvrage. Nous disposons au niveau de chaque section singulière des trois équations [38]. Nous avons donc besoin d’une quatrième équation pour résoudre le système, on se contentera d’une hypothèse sur Zj. Cette hypothèse ne cherche pas vraiment à approcher l’équation R’S’T’ manquante, mais plutôt ses effets sur l’évolution de la valeur de Zj.

On considère que :

DZj = k.DQj [41]

avec k déterminé lors du pas précédent. On a donc la démarche suivante pour le calcul de Rj Sj Tj :

1) Hypothèse sur DZj ([41]) + [40] = valeur DZj* prévue

=> valeurs DQj* et DZj* prévues

2) Calcul des deux valeurs DQi*, DZi* prévues.
=> DQi* = DQj*

et la valeur DZi* prévue grâce à la relation d’impédance RiSiTi.

Nous partons alors du principe que les valeurs réelles DQi, DZi, et DZj seront voisines de DQi* et DZi*, DZj* soit :

Nous pouvons alors écrire :

Qin+1 = Qin + DQi = f(Zin + DZi, Zjn + DZj, Wn+1)
= f(Zin + DZi* + dzi, Zjn + DZj* + dzj, Wn+1)

avec dZi et dZj petits et en notant :

f(*) = f(Zin + DZi*, Zjn + DZj*, Wn+1)

on obtient :

Qin + DQi = f(*) + dzi + dzj
=> DQi = f(*) - Qin + (DZi - DZi*) + (DZj - DZj*)
= f(*) - Qin - ( DZi* + DZj*) + DZi + DZj

en ajoutant :

nous obtenons :
[42]

avec :
D = f(*) - Qin - ( DZi* + DZj*)
et f(*) = f(Zin + DZi*, Zjn + DZj*, Wn+1)

Examinons dans le détail comment on détermine l’équation [41] : nous faisons l’hypothèse que Zj varie entre n et n+1 de la même manière qu’entre n-1 et n par rapport à la variation de débit.

On a donc :

k =

On prend k = 0 si | Qjn - Qjn-1 | < 0.01 ou si la pente de la R’S’T’ aval est de même signe que la RST amont.
Regardons comment vérifier que la RST et la R’S’T’ ont des pentes de signe opposé :

Le système formé des équations [38] et [41] s’écrit :

[43]

DQj* = DZi* + DZj*
=> DQj* = ( - .DQj*) + DZj*
=> DQj* (1 + ) = + DZj*

le système [43] donne :

Il faut que : k () < 0
ou k (1 + ) < 0
pour que la RST et la R’S’T’ aient des pentes opposées.