L’équation différentielle de variation des classes
fixées est la suivante :

$\frac{\partial C_k}{\partial t}(x,t)=E_k(x,t)$

Avec :

• $C_k$ : la masse par unité
  de longueur de cours d’eau de la classe au point considéré ;
• $E_k$ : l’évolution de $C_k$ en fonction du temps.

La discrétisation pour le temps $j+1=t+\Delta t$ de cette équation est
faite par une méthode d’Euler semi-implicite :

$C_k^{j+1}-C_k^{j}-\frac{\Delta t}{2}\left(E_k^{j}+E_k^{j+1}\right)=0$

Sa résolution est ensuite réalisée dans les mêmes itérations de Newton
que les classes de qualité dérivantes.

La formule de l’itération de Newton pour une itération
i est :

$C_k^{j+1,i}=C_k^{j+1,i-1}-\frac{f\left(C_k^{j+1,i-1}\right)}{f’\left(C_k^{j+1,i-1}\right)}=C_k^{j+1,i-1}-\frac{b^{i}}{a^{i}}$

avec $b_{i}=C_k^{j+1,i-1}-C_k^{j}-\frac{\Delta t}{2}\left(E_k^{j}+E_k^{j+1,i}\right)$ et $a_{i}=1-\frac{\Delta t}{2}E’_k^{j+1,i}$

$E_k^{j+1,i}$ et $E’_k^{j+1,i}$ sont fonction de $C_k^{j+1,i-1}$ mais
aussi des classes de qualité dérivantes $C_{k’}^{j+1,i-1}$