Calcul du transport dans un bief de section à section

Équation de transport

En régime permanent, l’équation de transport d’une classe dérivante devient :

$\frac{\mathit{dCQ}}{\mathit{dx}}=E(x,C)S$

Intégration par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4

L’intégration de l’équation précédente se
fait par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 (RK4).

Si on pose $y=\mathit{CQ}$ , on a
$\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=f\left(y,x\right)=E\left(x,y\right)S$
, la méthode de Runge-Kutta donne pour la section
j+1 : $y_{j+1}=y_{j}+\frac{\Delta x}{6}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)$ avec :

• $k_{1}=f\left(y_{j},x_{j}\right)=E\left(x_{j},y_{j}\right)S_{j}=E\left(x_{j},C_{j}\right)S_{j}$
• $k_{2}=f\left(y_{j}+\frac{\Delta x}{2}k_{1,}x_{j+\frac{1}{2}}\right)=E\left(x_{j+\frac{1}{2}},y_{j}+\frac{\Delta x}{2}k_{1}\right)S_{j+\frac{1}{2}}=E\left(x_{j+\frac{1}{2}},\frac{y_{j}+\frac{\Delta x}{2}k_{1}}{Q_{j+\frac{1}{2}}}\right)S_{j+\frac{1}{2}}$ avec $S_{j+\frac{1}{2}}=\frac{S_{j}+S_{j+1}}{2}$ et
  $Q_{j+\frac{1}{2}}=\frac{Q_{j}+Q_{j+1}}{2}$
• $k_{3}=f\left(y_{j}+\frac{\Delta x}{2}k_{2,}x_{j+\frac{1}{2}}\right)=E\left(x_{j+\frac{1}{2}},y_{j}+\frac{\Delta x}{2}k_{2}\right)S_{j+\frac{1}{2}}=E\left(x_{j+\frac{1}{2}},\frac{y_{j}+\frac{\Delta x}{2}k_{2}}{Q_{j+\frac{1}{2}}}\right)S_{j+\frac{1}{2}}$
• $k_{4}=f\left(y_{j}+\Delta xk_{3,}x_{j+1}\right)=E\left(x_{j+1},y_{j}+\Delta xk_{3}\right)S_{j+1}=E\left(x_{j+1},\frac{y_{j}+\Delta xk_{3}}{Q_{j+1}}\right)S_{j+1}$

Les concentrations à la section j+1 sont alors
égales à : $C_{j+1}=\frac{y_{j+1}}{Q_{j+1}}$

Calcul de la conservation au nœud

Équation de continuité au nœud

En régime permanent, l’équation de continuité au nœud devient :

$\sum _{s_{b}Q_{b}>0}C_{b}s_{b}Q_{b}+\sum _{Q_{p}>0}C_{p}Q_{p}+V_{\mathit{Cas}}E(t,C_{\mathit{nd}})+C_{\mathit{nd}}\left[\sum _{s_{b}Q_{b}<0}k_{b}s_{b}Q_{b}+\sum _{Q_{p}<0}k_{p}Q_{p}-k_{\mathit{inf}}S_{\mathit{cas}}v_{\mathit{inf}}\right]=0$

Résolution par la méthode de Newton

Soit $f\left(C_{\mathit{nd}}^{i}\right)$ , l’équation
de continuité au nœud à l’itération i.

La formule de l’itération de Newton est :

$C_{\mathit{nd}}^{i}=C_{\mathit{nd}}^{i-1}-\frac{f\left(C_{\mathit{nd}}^{i-1}\right)}{f’\left(C_{\mathit{nd}}^{i-1}\right)}=C_{\mathit{nd}}^{i-1}-\frac{b^{i}}{a^{i}}$

$b^{i}=\sum _{s_{b}Q_{b}>0}C_{b}s_{b}Q_{b}+\sum _{Q_{p}>0}C_{p}Q_{p}+V_{\mathit{Cas}}E(t,C_{\mathit{nd}}^{i-1})$
$+C_{\mathit{nd}}^{i-1}\left[\sum _{s_{b}Q_{b}<0}k_{b}s_{b}Q_{b}+\sum _{Q_{p}<0}k_{p}Q_{p}-k_{\mathit{inf}}S_{\mathit{cas}}v_{\mathit{inf}}\right]$

Dans le cas d’un nœud sans casier, il
n’y a pas de terme source et le problème est donc
linéaire. Avec des coefficients de répartition hétérogènes, les coefficients
$k_{b}$, $k_{p}$ et $k_{inf}$ sont
ajustés avant l’unique itération de calcul.

Dans le cas d’un nœud avec casier, le problème
n’est plus linéaire du fait du terme source et
nécessite plusieurs itérations cependant les coefficients
$k_{b}$, $k_{p}$ et $k_{inf}$ ne sont
pas ajustés. Ce qui nous permet d’avoir pour le cas
général :

$a^{i}=V_{\mathit{Cas}}E’(C_{\mathit{nd}}^{i-1})+\sum _{s_{b}Q_{b}<0}k_{b}s_{b}Q_{b}+\sum _{Q_{p}<0}k_{p}Q_{p}-k_{\mathit{inf}}S_{\mathit{cas}}v_{\mathit{inf}}$
avec $E’(C_{\mathit{nd}}^{i-1})$ la dérivée de
l’échange à chaque itération.

Calcul pour un nœud avec casier

On sépare les termes invariants dans l’itération en
posant :
$b_{1}=\sum _{s_{b}Q_{b}>0}C_{b}s_{b}Q_{b}+\sum _{Q_{p}>0}C_{p}Q_{p}$
et $a_{1}=\sum _{s_{b}Q_{b}<0}k_{b}s_{b}Q_{b}+\sum _{Q_{p}<0}k_{p}Q_{p}-k_{\mathit{inf}}S_{\mathit{cas}}v_{\mathit{inf}}$

Ce qui permet d’obtenir dans le cas
d’un nœud avec casier :

$b^{i}=b_{1}+V_{\mathit{Cas}}E(t,C_{\mathit{nd}}^{i-1})+a_{1}C_{\mathit{nd}}^{i-1}$
et $a^{i}=V_{\mathit{Cas}}E’(C_{\mathit{nd}}^{i-1})+a_{1}$

Calcul pour un nœud sans casier

Pour un nœud sans casier, la concentration au nœud
s’obtient directement en moyennant les concentrations
d’apport au nœud :

$C_{\mathit{nd}}=\frac{\sum _{s_{b}Q_{b}>0}C_{b}s_{b}Q_{b}+\sum _{Q_{p}>0}C_{p}Q_{p}}{\sum _{s_{b}Q_{b}>0}s_{b}Q_{b}+\sum _{Q_{p}>0}Q_{p}}$

Dans le cas d’un nœud sans casier avec départs hétérogènes, les coefficients de répartition doivent être ajustés afin d’assurer la conservation de la matière au nœud. Il s’agit de calculer Ka avant de calculer la concentration dans la première section du bief aval comme c’est décrit au chapitre "Calcul du réseau".