Equation de transport et d’échange

La température est définie par celle des apports et des échanges thermiques entre la masse d’eau et l’atmosphère et le substrat.
On part de l’équation générale :

$\frac{\partial ST}{\partial t}+ \frac{\partial QT}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\left(DS\frac{\partial T}{\partial x}\right) + SE_T$

où $E_T$, le terme d’échange, exprime le taux de variation temporelle de la température (en °C/s).

Cette variation est donnée par un flux d’échange d’énergie (en W/m²). Pour une colonne de longueur $\delta x$, on a

$\rho S \delta x \ c_p E_T = P L_m \delta x$

où $\rho$ est la masse volumique de l’eau, $c_p$ la capacité calorifique de l’eau, $L_m$ la largeur au miroir, $P$ la puissance par unité de surface reçue à la surface de l’eau. Si on veut considérer d’autres flux thermiques avec le fond, on peut rajouter un terme $P_f P_m \delta x$ ($P_m$ périmètre mouillé). On a donc

$E_T = \frac{L_m P}{\rho c_p S}$

On donne :

$\rho$ = 1000 kg/m³

$c_p$ = 4186 J/kg/°C

Calcul des termes du rayonnement

La puissance reçue par unité de surface est le bilan entre la somme du rayonnement solaire direct et du rayonnement atmosphérique, moins le rayonnement de la surface d’eau, le flux de chaleur sensible entre l’eau et l’air et le flux évaporatoire. On pourrait ajouter un terme d’échange entre la masse d’eau et le sol, bien que ce terme doit difficile à paramétrer (il dépend des propriétés thermiques du sol et de sa température).

On introduit un coefficient de masquage, $C_m$, dépendant de l’abscisse, qui tient compte de la couverture éventuelle du canal (passage en galeries notamment). Une couverture totale va annuler tous les flux d’échange entre l’eau et l’atmosphère. Le fait de négliger les échanges avec le substrat revient à considérer le milieu adiabatique, ou à supposer que ces échanges sont faibles au regard du processus de convection de la masse d’eau.

On a donc :

$P = (1 - C_m)((1 - a)R_N + R_a - R_e - H_s - H_e)$

Le rayonnement net est une donnée (attention aux unités, ces flux sont parfois précisés en J/h/cm²).
Il peut être estimé à partir du rayonnement solaire au-dessus de l’atmosphère (compte tenu de l’heure et de la position sur le globe) et de l’atténuation atmosphérique. L’albédo $a$ est généralement faible pour un plan d’eau. On prend une valeur moyenne de 0,03.

Le rayonnement atmosphérique est donné par la formule de Stefan-Boltzmann. Il tient compte également de la réflexion du plan d’eau et de la nébulosité. On tient compte de l’humidité de l’air ($w_a$, entre 0 et 1)avec la formule de Brutsaert (1982) [1]. On calcule pour cela la pression de vapeur saturante de l’air $e_s$ (en Pa) et la pression de vapeur en eau $e_e$ (en Pa) à partir de la température de l’air $T_a$ (en °C) et de $w_a$ :

$e_s = 101300 \exp \left (13.7- \frac{5120}{273.15 + T_a}\right )$

$e_{a} = w_{a} e_{s}$

$c_a = 1,24 (1 - a)\left (\frac{e_a / 100}{273.15 + T_a}\right )^{1 / 7}$

$R_a = c_a \sigma (273.15 + T_a)^4$

où $\sigma = 5.67 10^{-8}$ W m^-2K^-4 est la constante de Stefan-Boltzmann.

De la même manière, le rayonnement de l’eau $R_e$ vers l’atmosphère est donné par

$R_e = \epsilon \sigma (273.15 + T_e)^4$

avec $T_e$ température de l’eau (en °C) et $\epsilon$ émissivité de l’eau (fixée à 0,97).

Le flux de chaleur sensible par convection et conduction thermique est lié au gradient de température entre air et eau et à la vitesse du vent $U_V$.
On utilise la fonction de De Bruin (1978), en W/m$^2$/Pa, citée par [2] :

$f_V = 0.029 + 0.021 U_V$

et

$H_s = C_B f_V (T_e - T_a)$

où $C_B = 63$ Pa/$^{\circ}$C (coefficient de Bowen).

Enfin, le flux de chaleur latente est donné par

$H_e = f_V (e_s - e_a)$