SIC^2 : Logiciel de Simulation Intégrée des Canaux et de leur Contrôle

Détachement Algual en réponse à une chasse

David Dorchies — 2017-11-07T11:47:02Z

Définition

Le taux de détachement accidentel de biomasse fixée est calculé, en chaque section comme suit :

$ {\frac{\partial B}{\partial t} (x,t) = - \frac{1}{\delta }\left ( \frac{\tau_{0}(x,t) - \tau_{0,cr}(x)}{\tau_{ref}(x)} - s_B \right )^\eta B(x,t) $ , si $ \frac{\tau_{0}(x,t) - \tau_{0,cr}(x)}{\tau_{ref}(x)} > s_B} $

$ {\frac{\partial B}{\partial t} = 0} $ , sinon

Avec :

$ {B(x,t)} $ : la biomasse fixée en kg m^-1
$ {\tau _ 0(x,t)} $ : la contrainte de cisaillement à la paroi en N m^-2
$ {\tau_{0,cr}(x)} $ : la valeur critique de cisaillement qui intègre l'effet mémoire des algues dans leur capacité de résistance.
$ {\tau_{ref}(x)} $ : la valeur de référence du cisaillement
$ {s_B} $ : le seuil de sensibilité qui prend en compte les fluctuations antérieures à la chasse
$ {\delta} $ : une constante de temps en secondes
$ {\eta} $ : un exposant adimensionnel

Caractéristiques

Identifiant de la loi : 201
Nombre de classes intervenant : 1
Nombre de paramètres : 5

Classes intervenantes :

$ {B} $

Paramètres fonction de l'abscisse :

$ {\tau_{0,cr}} $
$ {\tau_{ref}} $

Paramètres éventuellement fonction du temps

$ {s_B} $
$ {\delta} $
$ {\eta} $

Engelund-Hansen (1967)

Louis Poirel — 2012-04-30T13:01:27Z

Loi d'Engelund-Hansen

La Concentration d'équilibre est calculée de la façon suivante :

$$C_{eq}=0.05\rho_S\frac{LU^2}{Q}\frac{(JR)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{g} (\rho_S/\rho-1)^2d}$$

Avec :

$ \rho_S$ : la masse volumique du sédiment en kg/m³
$ L $ : la largeur du cours d'eau en m
$ U $ : la vitesse moyenne en m/s
$ Q $ : le débit en m³/s
$ J $ : la pente en m/m
$ R $ : le rayon hydraulique en m
$ g $ : l'accélération de la gravité en m/s²
$ \rho $ : la masse volumique de l'eau en kg/m³
$ d $ : le diamètre du sédiment

Caractéristiques

Identifiant de la loi : 561
Nombre de classes intervenant : 4
Nombre de paramètres : 6

Classes intervenantes :

$ C_i $ : Classe dérivante variant sous l'effet de la loi
$ C_j $ : Classe fixée variant sous l'effet de la loi
$ C_k $ : Classe paramètre de la loi ($i=k$ pour un calcul standard)
$ T $ : Température (utilisée pour calculer la viscosité de l'eau)

Paramètres éventuellement fonction du temps

$ d $ : le diamètre du sédiment
$ \rho_S$ : la masse volumique du sédiment
$ p $ : la porosité du sédiment
$ \alpha$
$ i_{ech}$ : formule d'échange choisie :1 pour Han, 2 pour Hazen
$\beta$

Croissance des algues (Thèse O. Fovet, 2010, p.101)

David Dorchies — 2012-04-30T08:07:27Z

Définition

La croissance de la biomasse alguale fixée est calculé au temps t, en chaque section d'abscisse x comme suit :

$\frac{\partial B}{\partial t}(x,t) = \mu(x,t) B(x,t) F_{lim}(B'(x,t))$

avec :

$F_{lim}(B(x,t)) = \left ( 1 - \frac{B'(x,t)}{B_{Max}} \right )$
$ \mu(x,t) = \mu_{0} \theta^{T(t)-T_{0}} \frac{I(x,t)}{I_{opt}} e^{1- \frac{I(x,t)}{I_{opt}}} \textup{min} \left ( \frac{N_{i}(x,t)}{N_{i}(x,t) + K_{N_{I}}} \right )$
$ I(x,t) = I_{s}(x,t) e^{-k_{ext} h(x,t)} $
$ I_{s}(x,t) = (1-C_m(x))(1-a)R_N(t) $

Variables et paramètres

$ B(x,t) $ : la biomasse fixée en kg m^-1
$ B'(x,t) $ : la biomasse fixée en kg m^-1
$ B_{Max} $ : La valeur maximale de la biomasse fixée pour un mètre linéaire de canal en kg m^-1
$ \mu_{0} $ : le taux de croissance de référence en s ^-1
$ \theta $ : un coefficient de croissance
$ T(x,t) $ : la température de l'eau en °C
$ T_{0} $ : la température de référence en °C
$ I(x,t) $ : l'intensité lumineuse solaire au fond du canal en W m^-2
$ I_{s}(x,t) $ : l'intensité lumineuse solaire en W m^-2
$ C_{m}(x)$ : le coefficient de masquage (cf. Simulation de la température)
$ a $ : albédo (cf. Simulation de la température)
$ R_{N}(t) $ le rayonnement net en W m^-2 (cf. Simulation de la température)
$ k_{ext} $ : facteur d'extinction lié à la turbidité
$ h(x,t) $ : hauteur d'eau moyenne ($ h = S / L $) en m
$ I_{opt}(x,t) $ : l'intensité lumineuse optimale en W m^-2
$ N_{i}(x,t) $ : concentration du nutriment i en kg m^-3
$ K_{N_{i}} $ : constante de demi-saturation du nutriment limitant i en kg m^-3

Nutriments limitants

Cette loi d'échange permet de saisir au maximum 3 nutriments au choix intervenant dans la croissance de l'algue. POur ne pas faire intervenir de nutriment limitant, il suffit de laisser les valeurs $ K_{N_{i}} $ à zéro.

Caractéristiques

Identifiant de la loi : 301
Nombre de classes intervenant : 6
Nombre de paramètres météo : 3
Nombre de paramètres utilisateur : 9

Classes intervenantes :

$ B(x,t) $ : Classe variant sous l'effet de la loi
$ B'(x,t) $ : Classe paramètre de la loi
$ T(x,t) $ : Température de l'eau
$ N_{1}(x,t) $ : Nutriment 1
$ N_{2}(x,t) $ : Nutriment 2
$ N_{3}(x,t) $ : Nutriment 3

Paramètres météorologiques :

$ C_{m}(x)$
$ a $
$ R_{N}(t) $

Paramètres éventuellement fonction du temps

$ B_{Max} $ : Biomasse maximale
$ \mu_{0} $ : Taux de croissance de référence
$ \theta $ : Coefficient de croissance
$ T_{0} $ : Température de référence
$ k_{ext} $ : Coefficient d'extinction
$ I_{opt} $ : Intensité lumineuse optimale
$ K_{N_{1}} $ : Constante de demi-saturation du nutriment 1
$ K_{N_{2}} $ : Constante de demi-saturation du nutriment 2
$ K_{N_{3}} $ : Constante de demi-saturation du nutriment 3

Calcul de la dérivée de l'échange

La dérivée de l'échange par rapport à $B(x,t)$ est égale à :
$ E_{B}'(x,t) = \mu (x,t) \left ( 1 - \frac{2B(x,t)}{B_{Max}} \right ) $

Principe des lois d'évolution

Louis Poirel — 2012-04-27T14:17:32Z

Principe des lois d'évolution

Une loi d'évolution fait varier une ou plusieurs classes de qualité, en fonction de paramètres spécifiques à la loi, de variables hydrauliques, et éventuellement des concentrations de certaines classes qualité.

Ainsi, les termes d'échanges relatifs à la loi $i$ sont calculés de la façon suivante :

$$\left(E_{k_1}^i, \dots, E_{k_n}^i\right)=L^i\left(C_{k_1}, \dots, C_{k_n}, p_1, \dots, V, h, \dots\right)$$

Le terme d'échange d'une classe $k$ pour une itération est la somme des termes d'échange pour toutes les lois où cette classe $k$ intervient :

$$ E_k=E_{k}^{i_1}+E_{k}^{i_2}+\cdots+E_{k}^{i_n}$$

Pour la résolution du Newton, $E'_k$ est calculé de la même façon en sommant sur les lois où la classe intervient.

Évolution de la température

David Dorchies — 2011-01-27T08:47:55Z

Définition

Cette loi fait évoluer la température en fonction de la température de l'eau et des données météorologiques selon les formules développées dans l'article « Simulation de la température ».

Caractéristiques

Identifiant de la loi : 101
Nombre de classes intervenant : 1
Nombre de paramètres : 0

Classes intervenantes :

Température de l'eau

Transport des sédiments

David Dorchies — 2010-11-15T18:25:02Z

Généralités

Le calcul des lois sédimentaires se fait en trois étapes :

calcul d'une concentration d'équilibre $C_{eq}$ en suspension dans le cours d'eau, selon une des lois proposées ;
calcul d'un temps d'adaptation selon la formule de Han $t_A=\beta\frac{Ru*}{VW}$ ou de Hazen : $t_A=\beta\frac{R}{W}$ avec $W$ la vitesse de chute ;
calcul du terme d'échange $E=\frac {\alpha C_{eq}-C }{t_A}$ ;

où $\alpha$ et $\beta$ sont des paramètres adimensionnels.

La vitesse de chute est calculée selon la loi de Zanke :

$$W=1.1*10\frac{\nu}{d}\left(\sqrt{1+\frac{0.01 g (\rho_S/\rho-1)d^3}{\nu^2}}-1\right)$$

Cette loi est égale à la loi de Stokes pour les faibles diamètres, et à la loi de Newton pour les plus grosses particules.

Détachement algual en réponse à une chasse avec des contraintes de cisaillement de référence et critique égales au cisaillement au premier pas de temps de simulation

David Dorchies — 2010-11-14T21:20:02Z

Définition

Le taux de détachement accidentel d'une algue fixée $B_i$ venant s'ajouter à une algue en dérive $A_i$ est calculé, en chaque section comme suit :

$$ \frac{\partial B_i}{\partial t}(x,t) = -S\frac{\partial A_i}{\partial t}(x,t) = -\frac{1}{\delta}\left ( \frac{\tau_{0}(x,t) - \tau_{0}(x,0)}{\tau_{0}(x,0)} - s_B \right )^\eta B_j(x,t) $$

si $ \frac{\tau_{0}(x) - \tau_{0}(x,0)}{\tau_{0}(x,0)} > s_B $

$ \frac{\partial A_i}{\partial t}(x,t) = \frac{\partial B_i}{\partial t}(x,t) = 0 $ sinon

Avec :

$ A_i(x,t) $ : la biomasse en dérive en kg/m³
$ B_i(x,t) $ : la biomasse fixée de l'algue en dérive $ A_i $ en kg/m
$ B_j(x,t) $ : la biomasse de l'algue paramètre. Pour une utilisation standard, $i=j$.
$ S(x) $ : la surface hydraulique en m²
$ \tau(x,t) $ : la contrainte de cisaillement à la paroi en N m^-2
$ \tau_{0}(x,0) $ : la contrainte de cisaillement au premier pas de temps de simulation
$ s_B $ : le seuil de sensibilité qui prend en compte les fluctuations antérieures à la chasse
$ \delta $ : une constante de temps en secondes
$ \eta $ : un exposant adimensionnel

Caractéristiques

Identifiant de la loi : 341
Nombre de classes intervenant : 3
Nombre de paramètres : 3

Classes intervenantes :

$ A_i $ : Classe dérivante variant sous l'effet de la loi
$ B_i $ : Classe fixée variant sous l'effet de la loi
$ B_j $ : Classe paramètre de la loi

Paramètres éventuellement fonction du temps

$ s_B $ : Seuil de sensibilité
$ \delta $ : Constante de temps
$ \eta $ : Exposant

Croissance exponentielle à coefficient fixe

David Dorchies — 2010-10-06T13:21:18Z

Définition

Cette loi fait évoluer la concentration en fonction d'une concentration (qui peut être elle-même ou une autre) et de deux coefficients fixe $ k $ et $ \alpha_k $ selon la formule :

$ \frac{dC_i}{dt}=k C_j^{\alpha_k} $

Cas classique d'utilisation

Pour de nombreux solutés, on a une réaction de cinétique d'ordre 1, ce qui se traduit par une équation du type :

$ \frac{dC_{Ni}}{dt}= - k_{Ni} C_{Ni} $

où $ k_{Ni} $ est la constante de réaction (qui est l'inverse d'un temps). Par exemple, pour la demande bactériologique en oxygène ($ DBO_5 $), cette constante est de l'ordre de 0,3 jour^-1. Cette dégradation traduit ainsi le processus d'auto-épuration d'un cours d'eau.

Caractéristiques

Identifiant de la loi : 201
Nombre de classes intervenant : 2
Nombre de paramètres : 2

Classes intervenantes :

$ C_i $ : la classe variant sous l'effet de la loi
$ C_j $ : la classe paramètre de la loi

Paramètres :

$ k $ : constante de réaction
$ \alpha_k $ : ordre de la réaction