SIC^2 : Logiciel de Simulation Intégrée des Canaux et de leur Contrôle

Discrétisation semi-implicite

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Les équations de SAINT VENANT n'ayant pas de solution analytique connue en géométrie réelle, on résout numériquement en discrétisant les équations, c'est-à-dire que l'on remplace les dérivées partielles par des différences finies. La discrétisation retenue est le schéma semi-implicite de PREISSMANN.
Ce schéma est implicite car il fait intervenir dans l'expression des dérivées partielles d'espace les valeurs des variables au pas de temps (...)

- Discrétisation semi-implicite

Equations générales du schéma

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Posons :
Dfi = fA' - fA fA = fi
Dfj = fB' - fB fB = fj
L'expression d'une fonction en M s'écrit :
fM = (1-Q) + Q
fM = + (Dfi + Dfj) [31]

L'expression de la dérivée () en M s'écrit :
()M = (1-Q) + Q
=> ()M = + Q [32]
L'expression de la dérivée () en M s'écrit :
()M = ( + )
=> ()M = [33]

Nous allons utiliser les équations [31], [32] et [33] pour discrétiser les équations de ST VENANT.

Equation de continuité

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Discrétisons chaque terme de l'équation [28] :
= DAi » Bi.DZi
=> =
= + Q
q = qij (débit latéral entre les sections i et j)
L'équation [28] devient donc :
+ + Q =
+ + DQj - DQi = (qi + qj)
DQi - Bi.DZi = DQj + Bj.DZj + - (qi + qj)
qui est de la forme :
A21.DQi + A22.DZi = B21.DQj + B22.DZj + B23 [34]
avec :
A21 = 1 B21 = 1
A22 = - Bi B22 = Bj
B23 = - (...)

- Discrétisation semi-implicite

Equation dynamique

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Discrétisons chaque terme de l'équation [30] :

* =
Calcul de :

= [ - ] + [D( ) - D( )]
= [ - ] + [( - DAj) - ( - DAi)]
= [ - ] + DQj - DQi + BiDZi - BjDZj)
* = a1.DQi + a2.DQj + a3.DZi + a4.DZj + a5

avec :
a5 = [ - ]
a4 = - Bj
a3 = Bi
a2 =
a1 = -

Calcul de gA :

gA = g [ + Q].[]
= [(Ai + Aj)(Zj - Zi) + Q(DAi + DAj)(Zj - Zi) + Q(DZj - DZi)(Ai + Aj)]
= [(Ai + Aj)(Zj - Zi) + Q(BiDZi + BjDZj)(Zj - Zi) + Q(DZj - DZi)(Ai + Aj)]
* gA = [a6DZi + a7DZj + a8]

avec :

a6 = Q[Bi (Zj - Zi) - (Ai + Aj)]
a7 = Q[Bj (Zj - Zi) + (Ai + Aj)]
a8 = (Ai + Aj).(Zj - Zi)

Calcul de gASf :

gASf = g [ + [D(AiSfi) + D(AjSfj)]]
= g [ + [SfiDAi + AiDSfi + SfjDAj + AjDSfj]]

Calculons DSf :

Sf = = sgn(Q)

avec :

sgn(Q) = 1 si Q > 0
sgn(Q) = -1 si Q < 0

=> DSf = 2 sgn(Q).Q - 2 sgn (Q) .DDe
ou encore : DSf = 2 |Q| - 2 .DDe
De =

=> DDe = + R-1/3 DR
avec :

=> DDe = B.DZ + R-1/3 a DZ
= ae DZ
DSf = 2 |Q| - 2 DDe
= 2 |Q| - 2 ae DZ
=> gASf = g [ + [(SfiBiDZi + SfjBjDZj)
+ Ai (2 |Qi| - 2 aei DZi)
+ Aj (2 |Qj| - 2 aej DZj)]]
* gASf = a9.DZi + a10.DZj + a11.DQi + a12.DQj + a13

avec :

a9 = [SfiBi - Ai 2 aei]
a10 = [SfjBj - Aj 2 aej]
a11 = gQ
a12 = gQ
a13 = g []

Calcul de kq :

kq = [qi + qj + Q (D(qi ) + D(qj ))]
= [qi + qj + Q (qi - qi + qj - qj )]

* kq = a14.DZi + a15.DZj + a16.DQi + a17.DQj + a18

avec :
a14 = - Q qi Bi
a15 = - Q qj Bj
a16 = Q
a17 = Q
a18 = [qi + qj ]

L'équation dynamique [30] peut donc se mettre sous la forme :

A11.DQi + A12.DZi = B11.DQj + B12.DZj + B13 [35]

avec :
A11 = + a1 + a11 - a16
A12 = a3 + a6 + a9 - a14
B11 = - ( + a2 + a12 - a17)
B12 = - (a4 + a7 + a10 - a15)
B13 = - (a5 + a8 + a13 - a18)