SIC^2 : Logiciel de Simulation Intégrée des Canaux et de leur Contrôle

Résolution du calcul dans une section singulière

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Dans une section singulière, on peut avoir jusqu'à 5 déversoirs et 5 vannes en parallèle. On doit donc résoudre l'équation [23] où les fk (Zi,Zj) sont les débits évacués par chaque ouvrage à une cote Zi pour l'ouvrage k. Cette équation est résolue par la méthode de NEWTON.

La valeur initiale est déterminée de la manière suivante : on considère un seul déversoir de longueur XL égale à la somme des longueurs de tous les ouvrages et à la cote du plus bas Zmin. Si la cote aval Zj est inférieure à Zmin, on initialise avec la formule du déversoir dénoyé :

Zio = Zmin + ( )2/3

Si Zj est supérieur à Zmin, on initialise avec la formule du déversoir noyé.
Les valeurs de départ pour la dichotomie sont :
Zmin = cote du plus bas des ouvrages ou Zj, si celle-ci est supérieure,
Zmax = cote du plus haut des ouvrages + 10 m.

On modifie ces valeurs de la façon suivante :
Si f(Zil) > 0 : Zmax = Zil
Si f(Zil) < 0 : Zmin = Zil

La fonction f = f_k(Z_i, Z_j) - Q est une fonction croissante.

Examinons le cas d'une vanne régulateur dans la section singulière. On a à résoudre l'équation [24] qui est de la forme f(W) = 0, W étant l'ouverture de la vanne permettant de maintenir la cote de l'eau à l'objectif Zi. On commence par calculer les débits évacués par tous les ouvrages fixes et on obtient :

fr(Zi, Zj, W) = Q - fk(Zi, Zj)

Cette équation est résolue par dichotomie en prenant comme ouverture de départ la moitié de l'ouverture maximum autorisée.

Le calcul est arrêtée quand les bornes de la dichotomie sont distantes de moins de 1 mm.

Résolution du calcul des prises

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

On a à résoudre l'équation [27] qui est de la forme fp(Z1,Z2,W) - Qp = 0.
On calcule Z2 dans le cas où la condition aval est variable :
Z2 = ZD + ( )2/3
ou Z2 = ZD + (Zo-ZD) ( )1/n
On cherche la solution par dichotomie.
La valeur initiale de W est prise égale à la moitié de l'ouverture maximum autorisée. Le calcul est arrêté quand le débit diffère de moins de 5 % du débit (...)

- Méthodes numériques

Méthodes numériques

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Dans tous les cas évoqués, nous avons obtenu une équation de la forme f(Z)=0 ou f(W)=0 à résoudre. Nous examinons ici dans le détail comment ces équations sont résolues numériquement.

- Méthodes numériques

Rappel de la méthode de Newton

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Considérons les variations d'une fonction f(Z). La méthode de NEWTON consiste à partir d'une valeur Zi à calculer l'intersection de l'axe f(Z)=0 avec la tangente à la courbe f(Z) menée à partir du point Xi. Cette intersection est à l'abscisse Zi+1.
L'équation de la tangente est :
f(Zi+1) - f(Zi) = ( )i (Zi+1 - Zi)
donc Zi+1 = Zi -

A chaque itération, on se rapproche de la solution Zi+1 tel que f(Zi+1)=0.
Les itérations sont stoppées quand la charge hydraulique correspondant à Zi ne varie plus de façon significative et que f(Zi) est très proche de 0 soit :

| H(Zi+1) - H(Zi) | < e1
et | f(Zi+1) | < e2

La convergence de cette méthode est assurée sous deux conditions :

courbure de f(Z) toujours de même signe dans la zone de la solution,
avoir une valeur de départ Zo judicieusement choisie.

Résolution de l'équation de la ligne d'eau

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

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Résolution du calcul de la cote critique

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Nous avons vu précédemment qu'il était nécessaire de calculer la cote critique dans chaque section de calcul pour pouvoir déterminer si une solution fluviale existe. La cote critique dans une section est définie par :

= 1
On transforme cette équation sous la forme :

f(Zci) = Log ( ) = 0

que l'on résout par la méthode de NEWTON. On remarque que cette fonction f est une fonction décroissante. La valeur initiale est déterminée en prenant le tirant d'eau critique dans le rectangle équivalent à la section pour la cote de débordement (ZDi).
Zcio = ( )1/3 + ZFi
avec : X =

Les valeurs de départ pour la dichotomie sont :

Zmin = ZFi
Zmax = ZDM + 10
avec : ZDM cote du dernier point de la section.

Du fait que f est une fonction décroissante, on modifie ces valeurs de la façon suivante :
Si f(Zcil) > 0 : Zmin = Zcil
Si f(Zcil) < 0 : Zmax = Zcil