SIC^2 : Logiciel de Simulation Intégrée des Canaux et de leur Contrôle

CEM02(V) et CEM02(D) : Seuils et vannes trapézoïdaux

David Dorchies — 2015-04-13T13:38:51Z

Ces deux équations sont la somme des équations "Cem88(V)" et "CEM88(D)" avec l'équation d'un seuil triangulaire.

Pour la partie triangulaire, la formule de Kindsvater-Shen est utilisée [1] :

$Q=C_e\frac{8}{15}\mathrm{tan}\frac{\alpha}{2}\sqrt{2g} h^{5/2}$

Le coefficient de débit $C$ utilisé dans SIC est égal à $C=C_e\frac{8}{15}\sqrt{2g}$. On a $C=\approx1,37$ pour $C_e=0,58$ comme le suggère la norme [1].

[1] Norme NF X 10-311 : Mesure de débit de l'eau dans les canaux découverts au moyen de déversoirs en mince paroi

Equations des ouvrages en travers

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Quand il existe des ouvrages en travers sur le canal (section singulière), on ne peut localement utiliser l'équation de la ligne d'eau pour calculer la cote amont de l'ouvrage. On doit utiliser les lois des divers ouvrages présents dans la section.

La modélisation des ouvrages est un problème délicat rencontré dans le développement des modèles d'hydraulique à surface libre. Les équations retenues pour modéliser les ouvrages sont très nombreuses et ne couvrent pas tout le domaine de fonctionnement. En particulier, il est très difficile d'assurer la continuité entre ces formulations, par exemple au moment du passage dénoyé-noyé ou surface libre-charge. Nous avons retenu une modélisation plus simple pour :

les ouvrages de type déversoir orifice : CEM88(V) (pelle importante) ;
les vannes de fond (pelle faible) avec une formulation dérivée de la précédente et donnant de meilleurs résultats.

Les équations sont également disponibles sous forme d'un fichier .m MatLab (fonction Qouvrage) fourni en Annexe.

CEM88(D) : Déversoir / Orifice (pelle importante)

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Figure 18. Schéma de l'ouvrage

Déversoir - régime dénoyé ($h_1 < W$ et $h_2 \leq \frac{2}{3} h_1$)

$Q = \mu_F L \sqrt{2g} h_1^{3/2} $ [12]

Formulation classique du déversoir dénoyé ($\mu_F \simeq 0.4$).

Déversoir - régime noyé ($h_1 < W$ et $h_2 \geq \frac{2}{3} h_1$)

$Q = \mu_S L \sqrt{2g} (h_1-h_2)^{1/2} h_2$ [13]

Formulation classique du déversoir noyé.

Le passage noyé-dénoyé s'effectue pour $h_2 = \frac{2}{3} h_1$, on a alors :

$\mu_S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \mu_F$ pour $\mu_F = 0.4 \Rightarrow \mu_S = 1.04$

On peut calculer un coefficient de débit dénoyé équivalent :

$ \mu_{F} = \frac{Q}{L \sqrt{2g} h_{1}^{3/2}} $

qui permet de juger du degré d'ennoiement du seuil en le comparant au coefficient dénoyé $\mu_F$ introduit. En effet, le coefficient directeur de l'ouvrage introduit est celui du déversoir dénoyé ($\mu_F$ proche de $0.4$).

Orifice - régime dénoyé ($h_1 \geq W$ et $h_2 \leq \frac{2}{3} h_1$)

On prend une formulation du type :

$ Q = \mu L \sqrt{2g} \left( h_1^{3/2} - (h_1 - W)^{3/2} \right)$ [14]

Cette modélisation s'applique bien aux orifices rectangulaires de grande largeur.

La continuité vers le fonctionnement à surface libre est assuré quand :

$\frac{h1}{W} = 1$, on a alors $\mu = \mu_F$.

Orifice - régime noyé

Il existe deux formulations suivant que l'on est partiellement noyé ou totalement noyé.

Régime partiellement noyé ($h_1 \geq W$ et $\frac{2}{3} h_1 < h_2 < \frac{2}{3} h_1 + \frac{W}{3}$)

$Q = \mu_F L \sqrt{2g} \left[ \frac{3\sqrt{3}}{2} \left( \left( h_1 - h_2 \right)^{1/2} h_2 \right) - \left(h_1 - W \right)^{3/2} \right]$ [15]

Régime totalement noyé ($h_1 \geq W$ et $\frac{2}{3} h_1 + \frac{W}{3} < h_2$)

$Q = \mu` L \sqrt{2g} (h_1-h_2)^{1/2} \left[ h_2 - (h_2 - W) \right]$
$\Rightarrow$ $Q = \mu` L \sqrt{2g} (h_1-h_2)^{1/2} W$ [16]

Formulation classique des orifices noyés, avec $\mu` = \mu_S$.

Le fonctionnement déversoir orifice est représenté par les équations ci-dessus et la figure 19. Quel que soit le type d'écoulement en charge, on calcule un coefficient de débit dénoyé équivalent correspondant à la formulation classique de l'orifice dénoyé :

$C_F = \frac{Q}{L \sqrt{2g} W (h_1 - 0.5 W)^{1/2}}$

(12) : Déversoir - dénoyé
(15) : Orifice - partiellement noyé
(13) : Déversoir - régime noyé
(16) : Orifice - totalement noyé
(14) : Orifice - dénoyé
Figure 19. Déversoir - Orifice

Les équations sont également disponibles sous forme d'un fichier .m MatLab (fonction Qouvrage) fourni en Annexe.

CEM88(V) : Déversoir / Vanne de fond (pelle faible)

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Déversoir - régime dénoyé

$Q=\mu_f L \sqrt{2g} h_1^{3/2}$

Déversoir - régime noyé

$Q=k_F \mu_F L \sqrt{2g} h_1^{3/2}$ [17]

$k_F$ coefficient de réduction de débit en noyé. Le coefficient de réduction de débit est fonction de $\frac{h_2}{h_1}$ et de la valeur ${\alpha}$ de ce rapport au moment du passage noyé dénoyé. L'ennoiement est obtenu quand $\frac{h_2}{h_1}>\alpha$. La loi de variation de $k_F$ a été ajustée sur les résultats expérimentaux ($\alpha= 0.75$).

Posons $x = \sqrt{1-\frac{h_2}{h_1}}$ :

* Si $x > 0.2$ : $k_F = 1 - \left(1 - \frac{x}{\sqrt{1-\alpha}}\right)^\beta$

* Si $x \leq 0.2$ : $k_F = 5x \left(1 - \left(1 - \frac{0.2}{\sqrt{1-\alpha}} \right)^\beta \right)$

Avec $\beta = -2\alpha + 2.6$, on calcule un coefficient de débit dénoyé équivalent comme précédemment.

Vanne de fond - régime dénoyé

$Q = L \sqrt{2g} \left(\mu h_1^{3/2} - \mu_1 (h_1 - W)^{3/2} \right) $ [18]

On constate expérimentalement que le coefficient de débit d'une vanne augmente avec $\frac{h_1}{W}$. On a ajusté une loi de variation de $\mu$ de la forme :

$\mu = \mu_0 - \frac{0.08}{\frac{h_1}{W}}$ avec : $\mu_0 \simeq 0.4$

donc $\mu_1 = \mu_0 - \frac{0.08}{\frac{h_1}{W}-1}$

Pour assurer la continuité avec la surface libre dénoyé pour $\frac{h1}{W} = 1$, il faut donc que $\mu_F = \mu_0 - 0.08$ soit $\mu_F = 0.32$ pour $\mu_0 = 0.4$

Vanne de fond - régime noyé

Régime partiellement noyé

$Q = L \sqrt{2g} \left[k_F \mu h_1^{3/2} - \mu_1 \left(h_1 - W \right)^{3/2} \right]$ [19]

$k_F$ étant le même que pour la surface libre.

Le passage noyé-dénoyé a été ajusté sur les résultats expérimentaux, on a une loi du type :

$\alpha = 1 - 0.14 \frac{h_2}{W}$

$0.4 \leq \alpha \leq0.75$

Pour assurer la continuité avec le fonctionnement à surface libre, il faut donc que le passage noyé-dénoyé à surface libre se fasse pour $\alpha = 0.75$ au lieu de $2/3$ dans la formulation déversoir orifice.

Régime totalement noyé

$Q = L \sqrt{2g} \left(k_F \mu h_1^{3/2} - k_{F1} \mu_1 \left(h_1 - W \right)^{3/2} \right)$ [20]

La formulation de $k_{F1}$ est la même que celle de $k_{F}$ en remplaçant $h_2$ par $h_2-W$ (et $h_1$ par $h_1-W$) pour le calcul du coefficient $x$ et de ${\alpha}$ (et donc de $k_{F1}$).

Le passage en totalement noyé a lieu pour :

$h_2 > \alpha_1 h_1 + (1 - \alpha_1) W$

avec : $\alpha_1 = 1 - 0.14 \frac{h_2 - W}{W}$
($\alpha_1 = \alpha (h_2-W)$)

Le fonctionnement déversoir-vanne est représenté par les équations ci-dessus et la figure 20. Quel que soit le type d'écoulement en charge, on calcule un coefficient de débit dénoyé équivalent correspondant à une formulation classique de la vanne dénoyée :

$C_F = \frac{Q}{L\sqrt{2g} W \sqrt{h_1}}$

Le coefficient directeur introduit dans SIC pour l'ouvrage est un coefficient $C_G$ habituellement proche de $0.6$. On le transforme alors en $\mu_0 = \frac{2}{3} C_G$, qui permet de calculer $\mu$ et $\mu_1$ de l'équation [18] de la vanne dénoyée.

Remarque : il est possible d'obtenir $C_F \neq C_G$, même en régime dénoyé, du moment que le coefficient de débit augmente avec le rapport $\frac{h_1}{W}$.

(12) : Déversoir - dénoyé
(19) : Orifice - partiellement noyé
(17) : Déversoir - régime noyé
(20) : Orifice - totalement noyé
(18) : Orifice - dénoyé
Figure 20. Déversoir - orifice

Les équations sont également disponibles sous forme d'un fichier .m MatLab (fonction Qouvrage) fourni en Annexe.