SIC^2 : Logiciel de Simulation Intégrée des Canaux et de leur Contrôle

CEM02(V) et CEM02(D) : Seuils et vannes trapézoïdaux

David Dorchies — 2015-04-13T13:38:51Z

Ces deux équations sont la somme des équations "Cem88(V)" et "CEM88(D)" avec l'équation d'un seuil triangulaire.

Pour la partie triangulaire, la formule de Kindsvater-Shen est utilisée [1] :

$Q=C_e\frac{8}{15}\mathrm{tan}\frac{\alpha}{2}\sqrt{2g} h^{5/2}$

Le coefficient de débit $C$ utilisé dans SIC est égal à $C=C_e\frac{8}{15}\sqrt{2g}$. On a $C=\approx1,37$ pour $C_e=0,58$ comme le suggère la norme [1].

[1] Norme NF X 10-311 : Mesure de débit de l'eau dans les canaux découverts au moyen de déversoirs en mince paroi

Résolution du calcul de la cote critique

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Nous avons vu précédemment qu'il était nécessaire de calculer la cote critique dans chaque section de calcul pour pouvoir déterminer si une solution fluviale existe. La cote critique dans une section est définie par :

= 1
On transforme cette équation sous la forme :

f(Zci) = Log ( ) = 0

que l'on résout par la méthode de NEWTON. On remarque que cette fonction f est une fonction décroissante. La valeur initiale est déterminée en prenant le tirant d'eau critique dans le rectangle équivalent à la section pour la cote de débordement (ZDi).
Zcio = ( )1/3 + ZFi
avec : X =

Les valeurs de départ pour la dichotomie sont :

Zmin = ZFi
Zmax = ZDM + 10
avec : ZDM cote du dernier point de la section.

Du fait que f est une fonction décroissante, on modifie ces valeurs de la façon suivante :
Si f(Zcil) > 0 : Zmin = Zcil
Si f(Zcil) < 0 : Zmax = Zcil

Equation de l'écoulement graduellement varié

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Le canal étant découpé en zones homogènes, les biefs, le problème se réduit à calculer la ligne d'eau en écoulement permanent fluvial dans un bief.

On considère les hypothèses classiques de l'hydraulique unidimensionnelle des canaux. La direction de l'écoulement est suffisamment rectiligne pour que la surface libre soit considérée comme une horizontale dans une section en travers. Les vitesses transversales sont négligeables et la répartition des pressions est hydrostatique. Les forces de frottement sont prises en compte sous la forme de Manning-Strickler. On étudie donc un écoulement permanent mono-dimensionnel et on considère uniquement un écoulement fluvial.

CEM88(V) : Déversoir / Vanne de fond (pelle faible)

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Déversoir - régime dénoyé

$Q=\mu_f L \sqrt{2g} h_1^{3/2}$

Déversoir - régime noyé

$Q=k_F \mu_F L \sqrt{2g} h_1^{3/2}$ [17]

$k_F$ coefficient de réduction de débit en noyé. Le coefficient de réduction de débit est fonction de $\frac{h_2}{h_1}$ et de la valeur ${\alpha}$ de ce rapport au moment du passage noyé dénoyé. L'ennoiement est obtenu quand $\frac{h_2}{h_1}>\alpha$. La loi de variation de $k_F$ a été ajustée sur les résultats expérimentaux ($\alpha= 0.75$).

Posons $x = \sqrt{1-\frac{h_2}{h_1}}$ :

* Si $x > 0.2$ : $k_F = 1 - \left(1 - \frac{x}{\sqrt{1-\alpha}}\right)^\beta$

* Si $x \leq 0.2$ : $k_F = 5x \left(1 - \left(1 - \frac{0.2}{\sqrt{1-\alpha}} \right)^\beta \right)$

Avec $\beta = -2\alpha + 2.6$, on calcule un coefficient de débit dénoyé équivalent comme précédemment.

Vanne de fond - régime dénoyé

$Q = L \sqrt{2g} \left(\mu h_1^{3/2} - \mu_1 (h_1 - W)^{3/2} \right) $ [18]

On constate expérimentalement que le coefficient de débit d'une vanne augmente avec $\frac{h_1}{W}$. On a ajusté une loi de variation de $\mu$ de la forme :

$\mu = \mu_0 - \frac{0.08}{\frac{h_1}{W}}$ avec : $\mu_0 \simeq 0.4$

donc $\mu_1 = \mu_0 - \frac{0.08}{\frac{h_1}{W}-1}$

Pour assurer la continuité avec la surface libre dénoyé pour $\frac{h1}{W} = 1$, il faut donc que $\mu_F = \mu_0 - 0.08$ soit $\mu_F = 0.32$ pour $\mu_0 = 0.4$

Vanne de fond - régime noyé

Régime partiellement noyé

$Q = L \sqrt{2g} \left[k_F \mu h_1^{3/2} - \mu_1 \left(h_1 - W \right)^{3/2} \right]$ [19]

$k_F$ étant le même que pour la surface libre.

Le passage noyé-dénoyé a été ajusté sur les résultats expérimentaux, on a une loi du type :

$\alpha = 1 - 0.14 \frac{h_2}{W}$

$0.4 \leq \alpha \leq0.75$

Pour assurer la continuité avec le fonctionnement à surface libre, il faut donc que le passage noyé-dénoyé à surface libre se fasse pour $\alpha = 0.75$ au lieu de $2/3$ dans la formulation déversoir orifice.

Régime totalement noyé

$Q = L \sqrt{2g} \left(k_F \mu h_1^{3/2} - k_{F1} \mu_1 \left(h_1 - W \right)^{3/2} \right)$ [20]

La formulation de $k_{F1}$ est la même que celle de $k_{F}$ en remplaçant $h_2$ par $h_2-W$ (et $h_1$ par $h_1-W$) pour le calcul du coefficient $x$ et de ${\alpha}$ (et donc de $k_{F1}$).

Le passage en totalement noyé a lieu pour :

$h_2 > \alpha_1 h_1 + (1 - \alpha_1) W$

avec : $\alpha_1 = 1 - 0.14 \frac{h_2 - W}{W}$
($\alpha_1 = \alpha (h_2-W)$)

Le fonctionnement déversoir-vanne est représenté par les équations ci-dessus et la figure 20. Quel que soit le type d'écoulement en charge, on calcule un coefficient de débit dénoyé équivalent correspondant à une formulation classique de la vanne dénoyée :

$C_F = \frac{Q}{L\sqrt{2g} W \sqrt{h_1}}$

Le coefficient directeur introduit dans SIC pour l'ouvrage est un coefficient $C_G$ habituellement proche de $0.6$. On le transforme alors en $\mu_0 = \frac{2}{3} C_G$, qui permet de calculer $\mu$ et $\mu_1$ de l'équation [18] de la vanne dénoyée.

Remarque : il est possible d'obtenir $C_F \neq C_G$, même en régime dénoyé, du moment que le coefficient de débit augmente avec le rapport $\frac{h_1}{W}$.

(12) : Déversoir - dénoyé
(19) : Orifice - partiellement noyé
(17) : Déversoir - régime noyé
(20) : Orifice - totalement noyé
(18) : Orifice - dénoyé
Figure 20. Déversoir - orifice

Les équations sont également disponibles sous forme d'un fichier .m MatLab (fonction Qouvrage) fourni en Annexe.

CEM88(D) : Déversoir / Orifice (pelle importante)

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Figure 18. Schéma de l'ouvrage

Déversoir - régime dénoyé ($h_1 < W$ et $h_2 \leq \frac{2}{3} h_1$)

$Q = \mu_F L \sqrt{2g} h_1^{3/2} $ [12]

Formulation classique du déversoir dénoyé ($\mu_F \simeq 0.4$).

Déversoir - régime noyé ($h_1 < W$ et $h_2 \geq \frac{2}{3} h_1$)

$Q = \mu_S L \sqrt{2g} (h_1-h_2)^{1/2} h_2$ [13]

Formulation classique du déversoir noyé.

Le passage noyé-dénoyé s'effectue pour $h_2 = \frac{2}{3} h_1$, on a alors :

$\mu_S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \mu_F$ pour $\mu_F = 0.4 \Rightarrow \mu_S = 1.04$

On peut calculer un coefficient de débit dénoyé équivalent :

$ \mu_{F} = \frac{Q}{L \sqrt{2g} h_{1}^{3/2}} $

qui permet de juger du degré d'ennoiement du seuil en le comparant au coefficient dénoyé $\mu_F$ introduit. En effet, le coefficient directeur de l'ouvrage introduit est celui du déversoir dénoyé ($\mu_F$ proche de $0.4$).

Orifice - régime dénoyé ($h_1 \geq W$ et $h_2 \leq \frac{2}{3} h_1$)

On prend une formulation du type :

$ Q = \mu L \sqrt{2g} \left( h_1^{3/2} - (h_1 - W)^{3/2} \right)$ [14]

Cette modélisation s'applique bien aux orifices rectangulaires de grande largeur.

La continuité vers le fonctionnement à surface libre est assuré quand :

$\frac{h1}{W} = 1$, on a alors $\mu = \mu_F$.

Orifice - régime noyé

Il existe deux formulations suivant que l'on est partiellement noyé ou totalement noyé.

Régime partiellement noyé ($h_1 \geq W$ et $\frac{2}{3} h_1 < h_2 < \frac{2}{3} h_1 + \frac{W}{3}$)

$Q = \mu_F L \sqrt{2g} \left[ \frac{3\sqrt{3}}{2} \left( \left( h_1 - h_2 \right)^{1/2} h_2 \right) - \left(h_1 - W \right)^{3/2} \right]$ [15]

Régime totalement noyé ($h_1 \geq W$ et $\frac{2}{3} h_1 + \frac{W}{3} < h_2$)

$Q = \mu` L \sqrt{2g} (h_1-h_2)^{1/2} \left[ h_2 - (h_2 - W) \right]$
$\Rightarrow$ $Q = \mu` L \sqrt{2g} (h_1-h_2)^{1/2} W$ [16]

Formulation classique des orifices noyés, avec $\mu` = \mu_S$.

Le fonctionnement déversoir orifice est représenté par les équations ci-dessus et la figure 19. Quel que soit le type d'écoulement en charge, on calcule un coefficient de débit dénoyé équivalent correspondant à la formulation classique de l'orifice dénoyé :

$C_F = \frac{Q}{L \sqrt{2g} W (h_1 - 0.5 W)^{1/2}}$

(12) : Déversoir - dénoyé
(15) : Orifice - partiellement noyé
(13) : Déversoir - régime noyé
(16) : Orifice - totalement noyé
(14) : Orifice - dénoyé
Figure 19. Déversoir - Orifice

Les équations sont également disponibles sous forme d'un fichier .m MatLab (fonction Qouvrage) fourni en Annexe.

Equations des ouvrages en travers

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Quand il existe des ouvrages en travers sur le canal (section singulière), on ne peut localement utiliser l'équation de la ligne d'eau pour calculer la cote amont de l'ouvrage. On doit utiliser les lois des divers ouvrages présents dans la section.

La modélisation des ouvrages est un problème délicat rencontré dans le développement des modèles d'hydraulique à surface libre. Les équations retenues pour modéliser les ouvrages sont très nombreuses et ne couvrent pas tout le domaine de fonctionnement. En particulier, il est très difficile d'assurer la continuité entre ces formulations, par exemple au moment du passage dénoyé-noyé ou surface libre-charge. Nous avons retenu une modélisation plus simple pour :

les ouvrages de type déversoir orifice : CEM88(V) (pelle importante) ;
les vannes de fond (pelle faible) avec une formulation dérivée de la précédente et donnant de meilleurs résultats.

Les équations sont également disponibles sous forme d'un fichier .m MatLab (fonction Qouvrage) fourni en Annexe.

Equation différentielle de la ligne d'eau

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

L'équation de la ligne d'eau d'un bief peut s'écrire sous la forme :
= - Sf + (k - 1) [10]

avec :
Sf =
et :
g = 9.81 m/s-²
n : coefficient de Manning
R : rayon hydraulique
A : section mouillée (m²)
H : charge totale
q : débit latéral (entrant : k = 0 ; sortant : k = 1)
S_f : pertes de charge linéaires
Q : débit (m3/s)

Pour résoudre cette équation, on a besoin de connaître une condition à la limite amont en débit et une condition à la limite aval en cote.

De plus, il faut connaître le débit latéral et le coefficient de rugosité hydraulique le long du canal. Cette équation n'ayant pas de solution analytique, dans le cas général, elle est discrétisée pour obtenir une solution numérique. Connaissant le débit amont et la cote aval, on intègre la ligne d'eau pas à pas à partir de l'aval.

Intégrons l'équation [1] entre les sections i) et j)
+ + = 0
Soit :
Hj - Hi - (k-1) q ( + ) + Dxij = 0 [11]

L'équation [11] peut se mettre sous la forme :
Hi(Zi)= Hj + DH(Zi)
Il existe une solution fluviale si les courbes Hi(Zi) et Hj + DH(Zi) se coupent.
Pour cela, il faut que :
d = Hj + DH(Z_Ci) - Hi(Z_Ci) > 0
Z_Ci est la cote critique définie en [10] par = 1
d > 0 : Solution fluviale F
d < 0 : Solution torrentielle. On se place systématiquement à la hauteur critique. La ligne d'eau calculée est donc surestimée.

Si une solution existe, on a donc à résoudre numériquement une équation de la forme f(Zi) = 0. Nous indiquons les méthodes numériques utilisées au paragraphe ci-dessus.

Résolution de l'équation de la ligne d'eau

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

- Méthodes numériques

Rappel de la méthode de Newton

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Considérons les variations d'une fonction f(Z). La méthode de NEWTON consiste à partir d'une valeur Zi à calculer l'intersection de l'axe f(Z)=0 avec la tangente à la courbe f(Z) menée à partir du point Xi. Cette intersection est à l'abscisse Zi+1.
L'équation de la tangente est :
f(Zi+1) - f(Zi) = ( )i (Zi+1 - Zi)
donc Zi+1 = Zi -

A chaque itération, on se rapproche de la solution Zi+1 tel que f(Zi+1)=0.
Les itérations sont stoppées quand la charge hydraulique correspondant à Zi ne varie plus de façon significative et que f(Zi) est très proche de 0 soit :

| H(Zi+1) - H(Zi) | < e1
et | f(Zi+1) | < e2

La convergence de cette méthode est assurée sous deux conditions :

courbure de f(Z) toujours de même signe dans la zone de la solution,
avoir une valeur de départ Zo judicieusement choisie.

Méthodes numériques

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

Dans tous les cas évoqués, nous avons obtenu une équation de la forme f(Z)=0 ou f(W)=0 à résoudre. Nous examinons ici dans le détail comment ces équations sont résolues numériquement.

- Méthodes numériques