SIC^2 : Logiciel de Simulation Intégrée des Canaux et de leur Contrôle

Siphons

Pierre-Olivier Malaterre — 2014-10-22T09:59:56Z

Il est possible de modéliser des siphons dans le logiciel SIC grâce à la technique dite de la "fente de Preissmann" [1] [2] [3]. Cette méthode s'applique que ce soit pour les calculs en régime permanent (Fluvia) ou en régime transitoire (Sirène). Le programme de calcul de la géométrie (Talweg) détecte automatiquement les sections qui sont fermées à leur extrémité supérieure. Cela est possible pour les sections de type largeur-cote, abscisse-cote, dalot (toujours), circulaire (si la cote de berge est supérieure ou égale à la cote de fond + 2 fois le rayon) et trapézoïdales (avec un fruit négatif et données adhoc si la hauteur est suffisante pour que le plafond se referme). De toute façon, de manière interne, toutes ces sections sont transformées en format largeur-cote, et les algorithmes sont ensuite les mêmes pour toutes ces sections.

La technique dite de la fente de Preissmann consiste à créer une fente artificielle en haut de la section à partir de son plafond, pour transformer une section fermée en charge en une section ouverte à surface libre. Mais dans cette fente artificielle on ne tient pas compte de frottement. Pour être plus précis, le périmètre mouillé P, la surface S, la vitesse V et/ou le rayon hydraulique R_h=S/P utilisés dans le calcul de la perte de charge J sont limités à la section réelle du siphon (sans la fente) avec $J=\frac{Q^2}{(K S R_{h}^{2/3})^2}$

Mais la cote Z est calculée dans la section complète comprenant la fente artificielle.

Dans le calcul de la charge H on prend la vitesse V limitée à la section réelle, et le Z dans la fente. Les tables largeur-cote sont calculées par Talweg une fois pour toute et écrites dans le fichier xml. Ces tableaux sont également indiqués dans le fichier log généré par Talweg. Quand il y a une fente de Preissmann on peut vérifier que P ne change pas dans la fente. On peut aussi voir que S ne change pas non plus dans la fente dans ces tables.

L'avantage de cela c'est que tous les calculs sont les mêmes (hormis l'astuce sur P, S, V, R_h et H) avec ou sans fente, en permanent ou en transitoire. Les inconvénients sont que du volume est stocké dans cette fente, mais cela doit être limité si la fente est mince.

On peut montrer que les équations de Saint Venant posent problème avec une largeur L=0, ce que l'on aurait sans la fente de Preissmann d'où justement l'idée de cette astuce.

Par contre attention, on peut avoir l'impression que cela n'est pas le cas, car quand on regarde la section mouillée par exemple dans les résultats, on ne trouve pas exactement ce à quoi on s'attendrait. Par exemple si on a un dalot de 9 m de large par 4 m de haut on s'attendrait à avoir une surface de 36 m². En fait on aura 36.0045 m² (36 + 9/2*0.001). Cela est dû au fait que le plafond de la section est légèrement modifié lors du traitement par talweg, en mettant une section débutant la fente de Preissmann à 1 mm plus faut que le plafond initial. Au lieu d'avoir un plafond plat horizontal on a donc un léger toit pendu de hauteur 1mm, avec donc un petit volume en plus. Cela a pour but d'améliorer la stabilité numérique du schéma et d'avoir une dérivée $\frac{dL}{dZ}$ mieux définie. Pour mieux visualiser cela on a augmenté le format d'écriture de S, P et L sur le fichier log de F8.2 à F9.3 (cf Talweg.ans, messages 53, 54, 55 et 56). Le périmètre mouillé P est quand à lui calculé sans cette petite modification car il n'intervient que dans le terme de frottement.

La fente doit être choisie de largeur petite (L=0.01 m par défaut dans SIC, mais on peut la changer section par section dans les options de la section, ou globalement pour une zone sélectionnée avec l'option "baguette magique" aussi appelée "construction automatique") afin de ne pas y stocker des volumes trop importants. Dans les réseaux d'assainissement, où il y a des regards, certains logiciels utilisent une astuce pour réduire la section de ces regards pour compenser le volume stocké artificiellement dans la fente, pour avoir une meilleure conservation du volume total dans le réseau.

On peut également choisir cette largeur de fente L pour avoir une célérité des ondes proche de celle des ondes sonores dans l'eau, soit environ 1500 ms^-1 avec $c=\sqrt{\frac{gS}{L}}$ .

Cette modification peut se faire également automatiquement avec l'option "baguette magique". Cela peut conduire par exemple à des fentes de l'ordre de 10^-4 m à 10^-6 m. Dans les schémas numériques explicites cela posait un problème car impliquait des pas de temps de calcul très petits afin d'avoir un nombre de Courant Cr< 1 avec $C_r=\frac{(V+c)DT}{DX}$, où V est la vitesse de l'eau, c la célérité des ondes, DT le pas de temps de calcul et DX le pas d'espace entre 2 sections de calcul.

Mais le schéma de Preissmann implicite n'est pas soumis aux mêmes contraintes. Il est inconditionnellement stable quel que soit le nombre de Courant. Mais numériquement un Cr très grand (ou aussi très petit ce qui n'est pas notre cas ici) introduit des biais numériques (diffusion et déphasage, cf thèse de Cunge). Par défaut dans SIC nous choisissons une largeur de fente de 0.01 m. Par exemple dans un dalot de 1 m², pour un débit de 1 m³s^-1, on a une célérité c de l'ordre de 30 ms^-1 avec une fente de 0.01 m. Pour avoir c de l'ordre de 1500 ms^-1 il faudrait une largeur de fente de l'ordre de 0.000005 m. L'avantage d'une fente aussi petite c'est que du coup les volumes stockés dans la fente sont faibles. L'inconvénient c'est que numériquement cela est un peu moins bien. C'est un compromis à trouver en cas de soucis.

Références bibliographiques :

[1] Cunge J.A., Wegner M., 1964. "Intégration numérique des équations d'écoulement de Barré de Saint Venant par un schéma implicite de différences finies. Application au cas d'une galerie tantôt en charge, tantôt à surface libre". La Houille Blanche, n°1-1964, pp 33-39

[2] Vasconcelos J.G., Wright S.J., 2004. "Numerical modeling of the transition between free surface and pressurized flow in storm sewers". Innovative Modeling of Urban Water Systems, Monograph 12, Chap 10, W. James, Ed., pp 189-214

[3] Ukon T., Shigeta N., Watanabe M., Shiraishi H., Uotani M., 2008. "Correction methods for dropping of simulated water level utilising Preissmann and MOUSE slot models". 11th International Conference on Urban Drainage, Edinburgh, Scotland, UK, pp 1-9

Sections paramétrées

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:46Z

On peut introduire les sections de forme géométrique particulière sous une forme paramétrée.
Cercle : défini par le rayon R, la cote du fond ZF et la cote de berge ZB. Si ZB n'est pas précisé l'on prend ZB = ZF + 2R.

Dalot : défini par la largeur au plafond L et le fruit m (qui peut être négatif), ainsi que par la cote du fond ZF et de couverture ZB.

Puissance : défini par XLo, a et la cote de berge et du fond.
L = XLo * (Y/Yo)a
avec :
Yo = ZB - ZF
Y = Z - ZF tirant d'eau
Le profil parabolique correspond à a = 0.5

Rectangle : défini par la largeur, les cotes du fond et de berge.

Trapèze ou triangle : défini par la largeur au plafond L (nulle pour le triangle) et les cotes du fond et de berge. Le fruit peut être négatif dans le cas du trapèze. En cas de fruit négatif si avant ZB la section se referme, le programme déplace la cote de berge.

Largeur-cote

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:45Z

Une autre manière de décrire une section en travers est de décrire pour chaque cote la largeur de la section.

Il suffit donc d'introduire les couples (Zi, Li). On peut commencer à partir du point 1 (largeurs cotes décroissantes) ou du point 4 (largeurs cotes croissantes). Cette solution est en général adoptée quand on n'a pas de relevé précis de la section ou si la section est symétrique.

Si l'on introduit la section en travers en largeur-cote, on ne tient pas compte de la dissymétrie de la section. Le périmètre mouillé est calculé en considérant la section comme symétrique. Le seul moyen de prendre en compte la dissymétrie d'une section est de l'introduire en abscisse-cote. Une section fermée peut être introduite en largeur-cote, dans ce cas la largeur L1 de notre schéma serait nulle.

Abscisse-cote

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:45Z

En général, les profils fournis par le géomètre se présentent sous la forme de séries abscisse - cotes.

Il suffit donc d'introduire chaque point au moyen de son abscisse en travers et de sa cote. On peut introduire la section à partir de la rive gauche ou de la rive droite.

Supposons que l'on commence par la rive gauche, on n'est pas obligé de rentrer le 1er point car la berge du canal s'arrête au point 2, de même pour le point 9. Si l'on introduit les points 1 et 9, ils seront éliminés par le programme. En effet, les points à gauche et à droite de la section sont supprimés si leur cote est inférieure ou égale à la cote de la berge proprement dite.

Il faut donc tenir compte de ces suppressions de points si l'on rentre une section que l'on veut fermer au plafond. Ainsi plutôt que de fermer "brutalement" horizontalement, voire moins bien en redescendant, ce qui donnerait 2 points à la même hauteur, ou un point extrême plus bas, il faudra garder une légère pente croissante en revenant vers le point initial.

Description des sections en travers de données

David Dorchies — 2009-10-22T15:06:45Z

La géométrie d'un bief est déterminée par les profils en travers caractéristiques de la forme et du volume du canal. Les cotes sont repérées par rapport à un repère unique pour permettre les calculs des pentes locales. Les profils en travers sont repérés suivant l'abscisse curviligne du canal (abscisse en long).

En général, on choisit comme origine le barrage réservoir d'alimentation et comme orientation le sens de l'écoulement. Si le modèle est maillé ou ramifié on a besoin de plusieurs abscisses en long pour l'ensemble du modèle.

Les sections en travers peuvent être définies de 3 manières différentes : abscisses-cotes, largeurs-cotes et paramétrées. Le type de description peut varier d'une section de donnée à l'autre à l'intérieur d'un bief.