SIC^2 : Logiciel de Simulation Intégrée des Canaux et de leur Contrôle

Détachement Algual en réponse à une chasse

David Dorchies — 2017-11-07T11:47:02Z

Définition

Le taux de détachement accidentel de biomasse fixée est calculé, en chaque section comme suit :

$ {\frac{\partial B}{\partial t} (x,t) = - \frac{1}{\delta }\left ( \frac{\tau_{0}(x,t) - \tau_{0,cr}(x)}{\tau_{ref}(x)} - s_B \right )^\eta B(x,t) $ , si $ \frac{\tau_{0}(x,t) - \tau_{0,cr}(x)}{\tau_{ref}(x)} > s_B} $

$ {\frac{\partial B}{\partial t} = 0} $ , sinon

Avec :

$ {B(x,t)} $ : la biomasse fixée en kg m^-1
$ {\tau _ 0(x,t)} $ : la contrainte de cisaillement à la paroi en N m^-2
$ {\tau_{0,cr}(x)} $ : la valeur critique de cisaillement qui intègre l'effet mémoire des algues dans leur capacité de résistance.
$ {\tau_{ref}(x)} $ : la valeur de référence du cisaillement
$ {s_B} $ : le seuil de sensibilité qui prend en compte les fluctuations antérieures à la chasse
$ {\delta} $ : une constante de temps en secondes
$ {\eta} $ : un exposant adimensionnel

Caractéristiques

Identifiant de la loi : 201
Nombre de classes intervenant : 1
Nombre de paramètres : 5

Classes intervenantes :

$ {B} $

Paramètres fonction de l'abscisse :

$ {\tau_{0,cr}} $
$ {\tau_{ref}} $

Paramètres éventuellement fonction du temps

$ {s_B} $
$ {\delta} $
$ {\eta} $

CEM02(V) et CEM02(D) : Seuils et vannes trapézoïdaux

David Dorchies — 2015-04-13T13:38:51Z

Ces deux équations sont la somme des équations "Cem88(V)" et "CEM88(D)" avec l'équation d'un seuil triangulaire.

Pour la partie triangulaire, la formule de Kindsvater-Shen est utilisée [1] :

$Q=C_e\frac{8}{15}\mathrm{tan}\frac{\alpha}{2}\sqrt{2g} h^{5/2}$

Le coefficient de débit $C$ utilisé dans SIC est égal à $C=C_e\frac{8}{15}\sqrt{2g}$. On a $C=\approx1,37$ pour $C_e=0,58$ comme le suggère la norme [1].

[1] Norme NF X 10-311 : Mesure de débit de l'eau dans les canaux découverts au moyen de déversoirs en mince paroi

Siphons

Pierre-Olivier Malaterre — 2014-10-22T09:59:56Z

Il est possible de modéliser des siphons dans le logiciel SIC grâce à la technique dite de la "fente de Preissmann" [1] [2] [3]. Cette méthode s'applique que ce soit pour les calculs en régime permanent (Fluvia) ou en régime transitoire (Sirène). Le programme de calcul de la géométrie (Talweg) détecte automatiquement les sections qui sont fermées à leur extrémité supérieure. Cela est possible pour les sections de type largeur-cote, abscisse-cote, dalot (toujours), circulaire (si la cote de berge est supérieure ou égale à la cote de fond + 2 fois le rayon) et trapézoïdales (avec un fruit négatif et données adhoc si la hauteur est suffisante pour que le plafond se referme). De toute façon, de manière interne, toutes ces sections sont transformées en format largeur-cote, et les algorithmes sont ensuite les mêmes pour toutes ces sections.

La technique dite de la fente de Preissmann consiste à créer une fente artificielle en haut de la section à partir de son plafond, pour transformer une section fermée en charge en une section ouverte à surface libre. Mais dans cette fente artificielle on ne tient pas compte de frottement. Pour être plus précis, le périmètre mouillé P, la surface S, la vitesse V et/ou le rayon hydraulique R_h=S/P utilisés dans le calcul de la perte de charge J sont limités à la section réelle du siphon (sans la fente) avec $J=\frac{Q^2}{(K S R_{h}^{2/3})^2}$

Mais la cote Z est calculée dans la section complète comprenant la fente artificielle.

Dans le calcul de la charge H on prend la vitesse V limitée à la section réelle, et le Z dans la fente. Les tables largeur-cote sont calculées par Talweg une fois pour toute et écrites dans le fichier xml. Ces tableaux sont également indiqués dans le fichier log généré par Talweg. Quand il y a une fente de Preissmann on peut vérifier que P ne change pas dans la fente. On peut aussi voir que S ne change pas non plus dans la fente dans ces tables.

L'avantage de cela c'est que tous les calculs sont les mêmes (hormis l'astuce sur P, S, V, R_h et H) avec ou sans fente, en permanent ou en transitoire. Les inconvénients sont que du volume est stocké dans cette fente, mais cela doit être limité si la fente est mince.

On peut montrer que les équations de Saint Venant posent problème avec une largeur L=0, ce que l'on aurait sans la fente de Preissmann d'où justement l'idée de cette astuce.

Par contre attention, on peut avoir l'impression que cela n'est pas le cas, car quand on regarde la section mouillée par exemple dans les résultats, on ne trouve pas exactement ce à quoi on s'attendrait. Par exemple si on a un dalot de 9 m de large par 4 m de haut on s'attendrait à avoir une surface de 36 m². En fait on aura 36.0045 m² (36 + 9/2*0.001). Cela est dû au fait que le plafond de la section est légèrement modifié lors du traitement par talweg, en mettant une section débutant la fente de Preissmann à 1 mm plus faut que le plafond initial. Au lieu d'avoir un plafond plat horizontal on a donc un léger toit pendu de hauteur 1mm, avec donc un petit volume en plus. Cela a pour but d'améliorer la stabilité numérique du schéma et d'avoir une dérivée $\frac{dL}{dZ}$ mieux définie. Pour mieux visualiser cela on a augmenté le format d'écriture de S, P et L sur le fichier log de F8.2 à F9.3 (cf Talweg.ans, messages 53, 54, 55 et 56). Le périmètre mouillé P est quand à lui calculé sans cette petite modification car il n'intervient que dans le terme de frottement.

La fente doit être choisie de largeur petite (L=0.01 m par défaut dans SIC, mais on peut la changer section par section dans les options de la section, ou globalement pour une zone sélectionnée avec l'option "baguette magique" aussi appelée "construction automatique") afin de ne pas y stocker des volumes trop importants. Dans les réseaux d'assainissement, où il y a des regards, certains logiciels utilisent une astuce pour réduire la section de ces regards pour compenser le volume stocké artificiellement dans la fente, pour avoir une meilleure conservation du volume total dans le réseau.

On peut également choisir cette largeur de fente L pour avoir une célérité des ondes proche de celle des ondes sonores dans l'eau, soit environ 1500 ms^-1 avec $c=\sqrt{\frac{gS}{L}}$ .

Cette modification peut se faire également automatiquement avec l'option "baguette magique". Cela peut conduire par exemple à des fentes de l'ordre de 10^-4 m à 10^-6 m. Dans les schémas numériques explicites cela posait un problème car impliquait des pas de temps de calcul très petits afin d'avoir un nombre de Courant Cr< 1 avec $C_r=\frac{(V+c)DT}{DX}$, où V est la vitesse de l'eau, c la célérité des ondes, DT le pas de temps de calcul et DX le pas d'espace entre 2 sections de calcul.

Mais le schéma de Preissmann implicite n'est pas soumis aux mêmes contraintes. Il est inconditionnellement stable quel que soit le nombre de Courant. Mais numériquement un Cr très grand (ou aussi très petit ce qui n'est pas notre cas ici) introduit des biais numériques (diffusion et déphasage, cf thèse de Cunge). Par défaut dans SIC nous choisissons une largeur de fente de 0.01 m. Par exemple dans un dalot de 1 m², pour un débit de 1 m³s^-1, on a une célérité c de l'ordre de 30 ms^-1 avec une fente de 0.01 m. Pour avoir c de l'ordre de 1500 ms^-1 il faudrait une largeur de fente de l'ordre de 0.000005 m. L'avantage d'une fente aussi petite c'est que du coup les volumes stockés dans la fente sont faibles. L'inconvénient c'est que numériquement cela est un peu moins bien. C'est un compromis à trouver en cas de soucis.

Références bibliographiques :

[1] Cunge J.A., Wegner M., 1964. "Intégration numérique des équations d'écoulement de Barré de Saint Venant par un schéma implicite de différences finies. Application au cas d'une galerie tantôt en charge, tantôt à surface libre". La Houille Blanche, n°1-1964, pp 33-39

[2] Vasconcelos J.G., Wright S.J., 2004. "Numerical modeling of the transition between free surface and pressurized flow in storm sewers". Innovative Modeling of Urban Water Systems, Monograph 12, Chap 10, W. James, Ed., pp 189-214

[3] Ukon T., Shigeta N., Watanabe M., Shiraishi H., Uotani M., 2008. "Correction methods for dropping of simulated water level utilising Preissmann and MOUSE slot models". 11th International Conference on Urban Drainage, Edinburgh, Scotland, UK, pp 1-9

Engelund-Hansen (1967)

Louis Poirel — 2012-04-30T13:01:27Z

Loi d'Engelund-Hansen

La Concentration d'équilibre est calculée de la façon suivante :

$$C_{eq}=0.05\rho_S\frac{LU^2}{Q}\frac{(JR)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{g} (\rho_S/\rho-1)^2d}$$

Avec :

$ \rho_S$ : la masse volumique du sédiment en kg/m³
$ L $ : la largeur du cours d'eau en m
$ U $ : la vitesse moyenne en m/s
$ Q $ : le débit en m³/s
$ J $ : la pente en m/m
$ R $ : le rayon hydraulique en m
$ g $ : l'accélération de la gravité en m/s²
$ \rho $ : la masse volumique de l'eau en kg/m³
$ d $ : le diamètre du sédiment

Caractéristiques

Identifiant de la loi : 561
Nombre de classes intervenant : 4
Nombre de paramètres : 6

Classes intervenantes :

$ C_i $ : Classe dérivante variant sous l'effet de la loi
$ C_j $ : Classe fixée variant sous l'effet de la loi
$ C_k $ : Classe paramètre de la loi ($i=k$ pour un calcul standard)
$ T $ : Température (utilisée pour calculer la viscosité de l'eau)

Paramètres éventuellement fonction du temps

$ d $ : le diamètre du sédiment
$ \rho_S$ : la masse volumique du sédiment
$ p $ : la porosité du sédiment
$ \alpha$
$ i_{ech}$ : formule d'échange choisie :1 pour Han, 2 pour Hazen
$\beta$

Croissance des algues (Thèse O. Fovet, 2010, p.101)

David Dorchies — 2012-04-30T08:07:27Z

Définition

La croissance de la biomasse alguale fixée est calculé au temps t, en chaque section d'abscisse x comme suit :

$\frac{\partial B}{\partial t}(x,t) = \mu(x,t) B(x,t) F_{lim}(B'(x,t))$

avec :

$F_{lim}(B(x,t)) = \left ( 1 - \frac{B'(x,t)}{B_{Max}} \right )$
$ \mu(x,t) = \mu_{0} \theta^{T(t)-T_{0}} \frac{I(x,t)}{I_{opt}} e^{1- \frac{I(x,t)}{I_{opt}}} \textup{min} \left ( \frac{N_{i}(x,t)}{N_{i}(x,t) + K_{N_{I}}} \right )$
$ I(x,t) = I_{s}(x,t) e^{-k_{ext} h(x,t)} $
$ I_{s}(x,t) = (1-C_m(x))(1-a)R_N(t) $

Variables et paramètres

$ B(x,t) $ : la biomasse fixée en kg m^-1
$ B'(x,t) $ : la biomasse fixée en kg m^-1
$ B_{Max} $ : La valeur maximale de la biomasse fixée pour un mètre linéaire de canal en kg m^-1
$ \mu_{0} $ : le taux de croissance de référence en s ^-1
$ \theta $ : un coefficient de croissance
$ T(x,t) $ : la température de l'eau en °C
$ T_{0} $ : la température de référence en °C
$ I(x,t) $ : l'intensité lumineuse solaire au fond du canal en W m^-2
$ I_{s}(x,t) $ : l'intensité lumineuse solaire en W m^-2
$ C_{m}(x)$ : le coefficient de masquage (cf. Simulation de la température)
$ a $ : albédo (cf. Simulation de la température)
$ R_{N}(t) $ le rayonnement net en W m^-2 (cf. Simulation de la température)
$ k_{ext} $ : facteur d'extinction lié à la turbidité
$ h(x,t) $ : hauteur d'eau moyenne ($ h = S / L $) en m
$ I_{opt}(x,t) $ : l'intensité lumineuse optimale en W m^-2
$ N_{i}(x,t) $ : concentration du nutriment i en kg m^-3
$ K_{N_{i}} $ : constante de demi-saturation du nutriment limitant i en kg m^-3

Nutriments limitants

Cette loi d'échange permet de saisir au maximum 3 nutriments au choix intervenant dans la croissance de l'algue. POur ne pas faire intervenir de nutriment limitant, il suffit de laisser les valeurs $ K_{N_{i}} $ à zéro.

Caractéristiques

Identifiant de la loi : 301
Nombre de classes intervenant : 6
Nombre de paramètres météo : 3
Nombre de paramètres utilisateur : 9

Classes intervenantes :

$ B(x,t) $ : Classe variant sous l'effet de la loi
$ B'(x,t) $ : Classe paramètre de la loi
$ T(x,t) $ : Température de l'eau
$ N_{1}(x,t) $ : Nutriment 1
$ N_{2}(x,t) $ : Nutriment 2
$ N_{3}(x,t) $ : Nutriment 3

Paramètres météorologiques :

$ C_{m}(x)$
$ a $
$ R_{N}(t) $

Paramètres éventuellement fonction du temps

$ B_{Max} $ : Biomasse maximale
$ \mu_{0} $ : Taux de croissance de référence
$ \theta $ : Coefficient de croissance
$ T_{0} $ : Température de référence
$ k_{ext} $ : Coefficient d'extinction
$ I_{opt} $ : Intensité lumineuse optimale
$ K_{N_{1}} $ : Constante de demi-saturation du nutriment 1
$ K_{N_{2}} $ : Constante de demi-saturation du nutriment 2
$ K_{N_{3}} $ : Constante de demi-saturation du nutriment 3

Calcul de la dérivée de l'échange

La dérivée de l'échange par rapport à $B(x,t)$ est égale à :
$ E_{B}'(x,t) = \mu (x,t) \left ( 1 - \frac{2B(x,t)}{B_{Max}} \right ) $

Principe des lois d'évolution

Louis Poirel — 2012-04-27T14:17:32Z

Principe des lois d'évolution

Une loi d'évolution fait varier une ou plusieurs classes de qualité, en fonction de paramètres spécifiques à la loi, de variables hydrauliques, et éventuellement des concentrations de certaines classes qualité.

Ainsi, les termes d'échanges relatifs à la loi $i$ sont calculés de la façon suivante :

$$\left(E_{k_1}^i, \dots, E_{k_n}^i\right)=L^i\left(C_{k_1}, \dots, C_{k_n}, p_1, \dots, V, h, \dots\right)$$

Le terme d'échange d'une classe $k$ pour une itération est la somme des termes d'échange pour toutes les lois où cette classe $k$ intervient :

$$ E_k=E_{k}^{i_1}+E_{k}^{i_2}+\cdots+E_{k}^{i_n}$$

Pour la résolution du Newton, $E'_k$ est calculé de la même façon en sommant sur les lois où la classe intervient.

Résolution du système linéaire des équations de correction

David Dorchies — 2012-02-01T16:50:00Z

On a trois variables inconnues pour chaque bief n°i :

en cote : $\Delta Z^i_1$ à l'amont
en cote : $\Delta Z^i_n$ à l'aval
en débit : $\Delta Q^i$ sur tout le bief

Soit N le nombre de biefs de maille. On pourrait résoudre le système des 3 N équations. Mais, de toute façon, il sera nécessaire de refaire, après correction des débits, un calcul général de ligne d'eau pour obtenir la cote dans chacune des sections des biefs.

On voit donc que les seules inconnues qui nous intéressent directement sont les $\Delta Q^i$.

Si l'on écrit les équations dans un ordre convenable on voit apparaître des blocs carrés d'ordre N :

$\pmatrix{A&B&0\cr D&I&F\cr G&H&I\cr}.\pmatrix{\Delta Q\cr \Delta Z_1\cr \Delta Z_n\cr} = \pmatrix{C1\cr C2\cr C3\cr}$

Matrice . Vecteur = Constante

Soit : $M.V = K$ [8]

D, F sont des matrices diagonales
I est la matrice unité
H est une matrice triangulaire supérieure avec une diagonale principale nulle

Dans la première ligne de blocs du système, on range les équations de continuité des débits aux noeuds qui ne sont pas noeud aval de maille (remplissage du bloc A).

On complète ensuite par les relations d'égalité entre les cotes amont aux diffluences (remplissage des bloc B et C1).

Dans la deuxième ligne on a les équations de condensation.

Dans la troisième ligne on trouve les lois aval aux biefs aval de maille, ainsi que les relations d'égalité entre les cotes amont et les cotes aval des biefs aux nœuds qui ne sont pas nœud aval de maille.

En multipliant [8] par une matrice de passage P convenable :
$(P.M).V = P.K$

On obtient un système de N équations en $\Delta Q$ :

$A_0.\Delta Q = C_0$ [9]

avec :
$\left\{ {\matrix{A_0 = A - B.D + \chi_0.(H.D - G)\cr C_0 = C_1 - \chi_0.C_3\cr \chi_0 = B.F.{\chi_1}^{-1}\cr \chi_1 = H.F - I\cr I = \mbox{ Matrice unite}\cr}}$

La méthode n'est valable, que si la matrice $\chi_1$ est inversible. Or celle-ci présente la particularité de toujours pouvoir se mettre sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure avec la diagonale composée uniquement de 1. On peut alors inverser $\chi_1$ par la méthode de Gauss-Jordan. Le système [9] est résolu par la méthode Gauss avec un pivot partiel.

Équations de correction

David Dorchies — 2012-02-01T16:45:00Z

La ligne d'eau corrigée sera solution de l'équation :

$f(Z^{i}_{j} + \Delta Z^{i}_{j}, Z^{i}_{j+1} + \Delta Z^{i}_{j+1},Q^{i}_{j} + \Delta Q^{i}) = 0$ [2]

En développant [2], en série de Taylor limitée aux termes du premier ordre :

[2] - [1] => $a^{i}_{j}.\Delta Z^{i}_{j} + b^{i}_{j}.\Delta Z^{i}_{j+1} + c^{i}_{j}.\Delta Q^{i} = 0 $ [3]

avec :
$a_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Z^{i}_{j}}$
$b_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Z^{i}_{j+1}}$
$c_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Q^{i}}$

On sait que $a_{j}^{i}$ n'est pas nul puisque la résolution de [1] est faite par la méthode de Newton où intervient le rapport $\frac{f}{a^{i}_{j}$.

On pose :
$d^{i}_{j} = \frac{b^{i}_{j}}{a^{i}_{j}}$ et $e^{i}_{j} = \frac{c^{i}_{j}}{a^{i}_{j}}$

Pour un bief i de n sections, les (n-1) équations [3] deviennent :

$\Delta Z^{i}_{1} = d^{i}_{1}.\Delta Z^{i}_{2} + e^{i}_{1}.\Delta Q^{i} $

...

$\Delta Z^{i}_{j} = d^{i}_{1}.\Delta Z^{i}_{j+1} + e^{i}_{j}.\Delta Q^{i} $

...

$\Delta Z^{i}_{n-1} = d^{i}_{n-1}.\Delta Z^{i}_{n} + e^{i}_{n-1}.\Delta Q^{i} $

En condensant ces équations relatives à deux sections, on obtient une relation caractéristique du bief :

$\Delta Z^{i}_{1} = D^{i}_{n}.\Delta Z^{i}_{n} + E^{i}.\Delta Q^{i} $ [4]

avec :

i = indice du bief
1 = indice de la section amont du bief
n = indice de la section aval du bief
$D^i = \prod_{j=1}^{n} d^i_j$
$E^i = D^i \prod_{k=1}^{n} \frac{e^i_k}{\prod_{j=k}^{n} d^i_j}$ ( avec : $d^i_n = 1$ et $e^i_n = 0$ )

Les autres relations dont on dispose sont :

Pour tous les nœuds de la maille qui ne sont pas nœuds aval de maille :

Continuité des débits :

$\sum_{i=1}^{k} \varepsilon ^i \Delta Q^i =0$ [5]

avec :

k = nombre de biefs de maille reliés au nœud
$\varepsilon ^i = 1$ pour un bief amont
$\varepsilon ^i = -1$ pour un bief aval

Égalité des cotes :

$Z^i_u + \Delta Z^i_u = Z^l_v + \Delta Z^l_v$ [6]

soit k - 1 relations, avec :

u, v = 1 si le bief part du nœud et n si le bief arrive au nœud
i, l = biefs reliés au nœud

Pour tous les nœuds aval de maille :

Si la condition aval est une cote donnée : $\Delta Z^i_n = 0$ [7]
Si la condition aval est une courbe de tarage aval (dans ce cas un seul bief par nœud aval) : $\Delta Z^i_n = g(\Delta Q^i) $

Classement des biefs

David Dorchies — 2012-02-01T16:06:00Z

Les noms des nœuds permettent de décrire l'enchaînement des biefs. La position d'un bief dans le réseau est entièrement définie par la connaissance des noms des nœuds amont et aval. On fixe ainsi en même temps le sens de l'écoulement. On décrit ainsi simplement la topologie du réseau qui est donc représenté sous la forme d'un graphe orienté. Les nœuds sont les sommets et les biefs sont les arcs de ce graphe. Ils sont numérotés automatiquement par le programme en fonction de l'ordre dans lequel ils sont introduits dans le fichier de données.

Un écoulement fluvial étant régi par l'aval, le calcul d'une ligne d'eau s'effectue en remontant l'écoulement, de l'aval vers l'amont. Afin de démarrer le calcul, il faut donc disposer d'une relation reliant la cote et le débit à la condition limite aval.

Un réseau hydraulique peut être représenté par un graphe orienté connexe sans circuit, sur lequel on effectue un parcours à l'aide de l'algorithme suivant :

On cherche un sommet sur lequel n'arrive aucun arc et d'où il ne part qu'un seul arc. On sélectionne ce dernier dans une liste puis on le supprime du graphe. On applique récursivement le procédé sur le sous graphe obtenu tant qu'il existe des sommets ainsi définis. Ensuite soit le problème est terminé, soit il reste des arcs non récupérés. Dans ce cas, on cherche dans le sous-graphe restant un sommet sur lequel n'arrive aucun arc et d'où il part plus d'un arc. On sélectionne ces derniers, puis on les supprime du graphe et on applique récursivement le procédé sur le sous-graphe obtenu tant qu'il existe des sommets ainsi définis. Ensuite soit le problème est terminé, soit il reste des arcs non récupérés. Dans ce cas, on recommence sur le sous-graphe restant l'algorithme depuis le début.

En lisant à l'envers la liste des arcs ainsi obtenue, on trouve une relation d'ordre partiel satisfaisante (Remarque : seuls les nœuds amont de biefs sont concernés par cet algorithme). De la liste, on tire également le repérage des biefs de maille. Ces biefs sont groupés en commençant par la première diffluence (les deux premiers biefs successifs ayant le même nœud amont). Si le modèle a plusieurs conditions aval en cote, alors tous les biefs suivant la première diffluence de la liste appartiennent à la maille. Si, en revanche, la maille se referme, elle s'arrête à la dernière confluence (le dernier bief ayant le même nœud aval qu'un autre bief situé dans la liste et localisé après le début de la maille).

Appliquons le 1er critère :
Le premier sommet sur lequel n'arrive aucun arc et d'où il ne part qu'un seul arc est le sommet DAM. On retient le bief [1] dans la liste et on le supprime du graphe.
On a alors :

DAM ~~[1]~~
DC1 [2] [4] ~~[-1]~~
DC2 [3] [6] [-2]
FC1 [5] [-4]
FC2 [-5]
FC3 [-6]
Liste : [1]

On ne peut plus trouver de nœud étant nœud amont d'un unique bief. On cherche alors un nœud n'ayant jamais été nœud aval, mais étant nœud amont de plusieurs biefs. Le nœud DC1 vérifie ces conditions. Les biefs 2 et 4 sont alors ajoutés à la liste :

DC1 ~~[2]~~ ~~[4]~~ ~~[-1]~~
DC2 [3] [6] ~~[-2]~~
FC1 [5] ~~[-4]~~
Liste : [1], [2], [4]

Le même algorithme est appliqué à nouveau. On obtient ainsi le nœud DC2 et les biefs 3 et 6 sont ajoutés à la liste.

DC2 ~~[3]~~ ~~[6]~~ ~~[-2]~~
FC1 [5] ~~[-4]~~
Liste : [1], [2], [4], [3], [6]

Il n'existe plus de nœud ayant deux biefs aval. On applique alors le premier algorithme. On obtient ainsi le nœud FC1, et le bief 5 est ajouté à la liste.

Liste : [1], [2], [4], [3], [6], [5]

La maille commence à partir du premier nœud de diffluence (biefs 2 et 4, nœud DC1). Tous les biefs suivants appartiennent à la maille, car cette maille n'est pas fermée (il existe plusieurs conditions limite aval).

Classement des biefs de maille pour le calcul en régime permanent - Solution initiale

David Dorchies — 2012-02-01T16:06:00Z

On fixe un débit initial dans chaque bief de maille en respectant la continuité des débits aux nœuds, en prenant par exemple une répartition au prorata de la section moyenne du bief (rapport du volume du bief aux cotes de débordement sur sa longueur).

Puis, on calcule la ligne d'eau dans chaque bief successif, en suivant l'ordre établi (Cf. Classement des biefs) et en prenant pour condition aval (dans le cas d'un nœud défluent) la moyenne des cotes obtenues lors du calcul des biefs aval partant de ce nœud.

Soit une partie du bief n°i, définie par deux sections, on cherche la cote Zⁱ_j (dans la section amont n°j) connaissant la cote Zⁱ_j+1 (dans la section aval n°j+1) et le débit Qⁱ_j s'écoulant dans la section n°j.
Cela revient à résoudre numériquement l'équation de la courbe de remous qui peut se mettre sous la forme :

$f(Z^{i}_{j}, Z^{i}_{j+1},Q^{i}_{j}) = 0$ [1]